Question

竖直平面内有一光滑圆弧形轨道，O为最低点，A、B两点距0点的高度分别为h和4h，现从A点释放一质量为M的大物体，且每隔适当的时间从B点释放一质量为m的小物体，它们和大物体碰撞后都结为一体，已知M=100m，
（1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞多少次后大物体的速度最小？
（2）若大物体第一次向右运动到0点时，和小物体碰撞，以后每当大物体向左运动到0点时，才与一个小物体碰撞，问共碰撞多少次后大物体能越过A点？
（3）若每当大物体运动到0点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞50次后，大物体运动的最大高度为h的几分之几？

Answer

（1）轨道光滑，物体下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律列式得到大、小物体通过O点的速度大小，大物体的速度最小为零，对于碰撞过程，根据动量守恒列式求解即可；
（2）运用数学上归纳法：先根据动量守恒定律求出第一次碰撞后的共同速度，再求出碰撞k次后共同速度，即可求得碰撞次数；
（3）根据动量守恒定律分别求出第1次、第2次、第3次…碰撞后共同速度，联立得到碰撞50次后，求得大物体的速度，再由机械能守恒求最大高度．
【解析】
（1）设A、B在O点的速度大小分别为vA、vB．
由机械能守恒定律得：Mgh=，mg•4h=
解得，vA=，vB=2
设碰撞n次后大物体的速度最小，最小速度为零，则根据动量守恒得：
  MvA-nmvB=（M+m）v
当v=0时，MvA-nmvB=0，则得n=50次
（2）当大物体的速度达到vA时，恰好能越过A点．
 第一次碰撞：MvA-mvB=（M+m）v
 设再碰撞k次：（M+m）v+kmvB=（M+m+km）vA，
联立解得 k=3
故共碰4次．
（3）第1次碰撞：MvA-mvB=（M+m）v1，
    第2次碰撞：（M+m）v1+mvB=（M+2m）v2，
    第3次碰撞：（M+m）v2-mvB=（M+3m）v3，
    第4次碰撞：（M+m）v3+mvB=（M+4m）v4，
   …
第50次碰撞：（M+49m）v49+mvB=（M+50m）v50，
联立解得，v50=
根据机械能守恒得：Mgh′=
解得h′=h
答：
（1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，碰撞50次后大物体的速度最小．
（2）若大物体第一次向右运动到0点时，和小物体碰撞，以后每当大物体向左运动到0点时，才与一个小物体碰撞，共碰撞4次后大物体能越过A点．
（3）若每当大物体运动到0点时，都有一个小物体与之碰撞，碰撞50次后，大物体运动的最大高度为h的．