Question

一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F随时间t的变化规律如图乙所示．F₁、F₂已知，引力常量为G，忽略各种阻力．求：
（1）星球表面的重力加速度
（2）星球的密度．

Answer

（1）小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度．
（2）万有引力等于重力，求出星球的质量，然后由密度公式求出星球的密度．
【解析】
（1）由乙图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F2，在最低点拉力为F1．
设最高点速度为v2，最低点速度为v1，绳长为l．
在最高点：    ①，
在最低点：     ②，
由机械能守恒定律得：
   ③，
由①②③解得：；④
（2）在星球表面：  ⑤
星球密度：  ⑥，
由⑤⑥解得：；
答：（1）星球表面的重力加速度为：．
（2）星球的密度为．