Question

如图所示，两根完全相同的“V”字形导轨OPQ与KMN倒放在绝缘水平面上，两导轨都在竖直平面内且正对、平行放置，其间距为L，电阻不计．两条导轨足够长，所形成的两个斜面与水平面的夹角都是α．两个金属棒ab和a′b′的质量都是m，电阻都是R，与导轨垂直放置且接触良好．空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B．
（1）如果两条导轨皆光滑，让a′b′固定不动，将ab释放，则ab达到的最大速度是多少？
（2）如果将ab与a′b′同时释放，它们所能达到的最大速度分别是多少？
（3）如果ab可无摩擦滑动，a′b′与导轨间的动摩擦因数为μ，则ab由静止下滑至速度多大时再释放a′b′，a′b′仍可保持静止？

Answer

（1）当ab棒所受合力为零，ab达到最大速度，结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律求出ab棒的最大速度．
（2）若将ab、a'b'同时释放，因两边情况相同，所以达到的最大速度大小相等，这时ab、a'b'都产生感应电动势而且是串联．结合切割产生的感应电动势和闭合电路欧姆定律求出最大速度．
（3）当a′b′所受的最大静摩擦力向上时，ab棒具有最小速度．当a′b′所受的最大静摩擦力向下时，ab棒具有最大速度．结合共点力平衡、闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式求出速度的范围．
【解析】
（1）ab运动后切割磁感线，产生感应电流，而后受到安培力，当受力平衡时，加速度为0，速度达到最大，受力情况如图1所示．则：
mgsinα=F安cosα
又F安=BIL
I=
E感=BLvmcosα
联立上式解得．
（2）若将ab、a'b'同时释放，因两边情况相同，所以达到的最大速度大小相等，这时ab、a'b'都产生感应电动势而且是串联．
∴mgsinα=F安′cosα
F安′=BI′L

∴
（3）当a′b′所受的最大静摩擦力向上时，ab棒具有最小速度，受力如图（2）所示．
对a′b′棒有：mgsinα=F安cosα+f
f=μ（mgcosα+FAsinα）
E感=BLv1cosα
F安=BIL
I=
联立解得：
当a′b′所受的最大静摩擦力向下时，ab棒具有最大速度受力图如图（3）所示．
mgsinα=F安cosα-f
f=μ（mgcosα+FAsinα）
E感=BLv2cosα
F安=BIL
I=
解得．
所以
答：（1）ab达到的最大速度是．
（2）如果将ab与a′b′同时释放，它们所能达到的最大速度都是．
（3）ab由静止下滑至速度范围为，再释放a′b′，a′b′仍可保持静止．