Question

如图（a）所示，有两级光滑的绝缘平台，高一级平台距离绝缘板的中心O的高度为h，低一级平台高度是高一级平台高度的一半．绝缘板放在水平地面上，板与地面间的动摩擦因数为μ，一轻质弹簧一端连接在绝缘板的中心，另一端固定在墙面上．边界GH左边存在着正交的匀强电场和交变磁场，电场强度为E，磁感应强度变化情况如图（b）所示，磁感强度大小均为B．有一质量为m、带负电的小球从高一级平台左边缘以一定初速滑过平台后垂直于边界GH进入复合场中，设小球刚进入复合场时磁场方向向外且为正值．小球运动至O点处恰好与绝缘板发生弹性正碰，碰撞后小球恰能垂直于边界GH返回低一级平台上，而绝缘板向右从C点运动到D点，C、D间的距离为S，求：
（1）交变磁场变化的周期T；
（2）小球从高一级平台左边缘滑上的初速度v；
（3）绝缘板的质量M；
（4）绝缘板从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能E_P．

Answer

（1）带电小球进入复合场做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，可得到场强．小球在t=T时刻进入复合场，与物块碰后做匀速圆周运动，恰能垂直于边界GH返回低一级平台上，返回低一级台阶的过程，磁场方向与小球进入复合场时磁场方向相反，说明小球从高一级平台进入复合场到与物块碰撞经过的时间等于，由小球做匀速圆周运动的周期公式T′=即可求出交变磁场变化的周期T；
（2）小球在复合场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；
（3）小球与绝缘板的碰撞是弹性碰撞，系统动量守恒，机械能也守恒，根据守恒定律列方程后联立求解即可；
（4）根据牛顿第二定律求出小球与物块碰后的速率，根据能量守恒求出物块获得的动能，并由能量守恒求解绝缘物块从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能Ep．
【解析】
（1）带电小球垂直于边界GH进入复合场，运动到O点恰与绝缘板碰撞，碰后能返回平台，说明小球在复合场中qE=mg--------①
洛仑兹力做匀速圆周运动的向心力，且经过半个圆周到达O点，碰后再经过半个周期回到二级平台．
根据带电粒子在磁场运动的周期公式 T=------------------------②
①②消去q，得交变磁场变化的周期 T=--------------------------
（2）由牛顿第二定律有：qvB=m------------------------------③
由几何关系有：r=----------------------------------④
①③④联立，解得：v=-----------------------------------⑤
（3）设小球碰撞后的速度大小为V，绝缘板的速度大小为Vm．则题意可知，小球返回的半径r′==，又根据r=可得：则V=--------⑥
小球与绝缘板碰撞过程中，以小球和绝缘板为系统，动量守恒．
有：mv=-mV+MVm------------------------------------⑦
而小球与绝缘板发生的是弹性碰撞，它们构成的系统机械能守恒，有：
有：mv2=mV2+MVm2--------------------------------⑧
⑤⑥⑦联立解得：M=3m----------------------------------------⑨
（4）绝缘板从C点运动至D点的过程中，根据功能关系有：
EP+μMgS=MVm2------------------------------------⑩
①③⑤⑥⑦⑨⑩联立解得：EP=-3μmgS
答：（1）交变磁场变化的周期T为；
（2）小球从高一级平台左边缘滑上的初速度v为；
（3）绝缘板的质量M为3m；
（4）绝缘板从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能为-3μmgS．