Question

如图1所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长l₁=1m，bc的边长l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与斜面平行且靠近；重物质量M=2kg，离地面的高度为H=4.8m；斜面上efgh区域是有界匀强磁场，磁感应强度的大小为0.5T，方向垂直于斜面向上；已知AB到ef的距离为4.2m，ef到gh的距离为0.6m，gh到CD的距离为3.2m，取g=10m/s²；现让线框从静止开始运动（开始时刻，cd边与AB边重合），求：
（1）通过计算，在图2中画出线框从静止开始运动到cd边与CD边重合时（不考虑ab边离开斜面后线框的翻转），线框的速度-时间图象．
（2）线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热．

Answer

（1）本题要分过程求线框的速度，再作出图象．
首先，线框abcd由静止沿斜面向上运动，到ab与ef线重合过程中，线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动，采用隔离法，由牛顿第二定律求出两个物体的加速度，由运动学公式求出ab恰好要进入磁场时的速度，或根据动能定理列式求ab恰好要进入磁场时的速度．根据计算得知线框进入磁场后做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止，此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求cd边离开CD的速度，即可作出图象．
（2）根据功能关系列式求热量．
【解析】
（1）解法一：
如图所示，线框abcd由静止沿斜面向上运动，到ab与ef线重合过程中，线框受恒力作用，线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动，设为a1，则：
  对M：Mg-T=Ma1
  对m：T-mgsinθ=ma1
（或对系统直接列出：Mg-mgsinθ=（M+m）a1亦可）
联立得：①、②m/s2     
设ab恰好要进入磁场时的速度为v，则：
解得 m/s   
该过程的时间为：s 
ab边刚进入磁场时：Mg-T=Ma2
T-mgsinθ-FA=ma2
又 FA=BIl1    E=Bl1v
联立求解得：=
故线框进入磁场后，做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止，匀速运动的时间 s 
此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，其加速度大小为：m/s2．
直到线框的cd边离开CD线．设线框cd边离开CD的速度为v1
则得
    m/s 
时间 s 
则线框的速度--时间图象如右图
解法二：
如图所示，线框abcd由静止沿斜面向上运动到ab与ef线重合的过程中，线框和重物在恒力作用下以共同的加速度做匀加速运动．
设ab恰好要进入磁场时的速度为v，对线框和重物的整体在这一过程运用动能定理：
解得：m/s 
该过程的时间为：
ab边刚进入磁场时由于切割磁感线而产生电流，所以线框受到沿斜面向下的安培力作用：
故此时，
故线框进入磁场后，做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止．s                                         
此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，设线框的cd边到达CD线
的速度为v1，则对线框有：
得=m/s
  s 
则线框的速度--时间图象如右图
（2）解法一：Q=2FAl2=2（Mg-mgsinθ）l2=18J 
解法二：Q=Mg•2l2-mg•2l2sinθ=18J
答：
（1）线框的速度-时间图象如图所示．
（2）线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热为18J．