Question

如图所示，在真空中，半径为R=5L的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离为d=6L，板长为L=12L，板的中心线O₁O₂与磁场的圆心O在同一直线上．有一电荷量为q、质量为m的带电的粒子，以速度v从圆周上的a点沿垂直于半径OO₁并指向圆心的方向进入磁场平面，当从圆周上的O₁点水平飞出磁场时，给M、N板加上如下图所示电压，最后粒子刚好以平行于M板的速度，从M板的边缘飞出（不计粒子重力）．求
（1）磁场的磁感应强度；
（2）求交变电压的周期T和电压U的值；
（3）若时，该粒子从M、N板右侧沿板的中心线仍以速率v向左射入M、N之间．求粒子从磁场中射出的点到a点的距离

Answer

（1）粒子由a点进入磁场在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由图得到，轨迹半径等于R，由牛顿第二定律求解磁场的磁感应强度；
（2）粒子进入电场后做平抛运动，平行于板的方向做匀速运动，粒子在电场中运动的时间为t=．要使粒子刚好以平行于M板的速度，根据对称性和周期性得知，粒子在电场中的运动时间为周期的整数倍，粒子在电场中运动侧向总位移等于，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出周期和电压．
（3）由上判断出粒子的电性．粒子在时刻进入电场后向N板偏转，由题意分析得知，粒子应刚好平行于N板从N板的边缘水平飞出，并沿着水平方向进入磁场．根据几何知识作出粒子的轨迹，分析求解粒子从磁场中射出的点到a点的距离．
【解析】
（1）粒子由a点进入磁场在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，所以①
由题意知粒子圆周运动的半径：②
由①、②得：
（2）据题意，粒子在电场中的运动时间为周期的整数倍，
即：于是得：（n=1，2，3…）
粒子在电场中运动侧向总位移：
代入计算得：（n=1，2，3…）
（3）由粒子在磁场中的受力可判断可知粒子带负电，粒子在时刻进入电场后向N板偏转，由题意知粒子应刚好平行于N板从N板的边缘水平飞出，并沿着水平方向进入磁场．
如图，设粒子从B点进入磁场，从C点射出，O″点为粒子圆周运动的圆心，由（1）知：r=R，所以OBO″C为菱形，故有OC∥O″B，由于粒子水平射出，故O″B⊥v，于是OC⊥v，方向竖直，故aOC共线，所以射出的点到a点的距为：aC=2R=10L．
答：
（1）磁场的磁感应强度为；
（2）求交变电压的周期T为（n=1，2，3…），电压U的值为；
（3）若时，该粒子从M、N板右侧沿板的中心线仍以速率v向左射入M、N之间，粒子从磁场中射出的点到a点的距离等于10L．