Question

如图所示为某钢铁厂的钢轨传送装置，斜坡长为L=20m，高为h=2m，斜坡上紧排着一排滚筒．长为l=8m、质量为m=1×10³ kg的钢轨ab放在滚筒上，钢轨与滚筒间的动摩擦因数为μ=0.3，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，使钢轨沿斜坡向上移动，滚筒边缘的线速度均为v=4m/s．假设关闭电动机的瞬时所有滚筒立即停止转动，钢轨对滚筒的总压力近似等于钢轨的重力．取当地的重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间；
（2）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作多长时间？

Answer

（1）欲使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，则钢轨先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动．
（2）欲使电动机工作的时间最短，钢轨的最后一段运动要关闭电动机，钢轨匀减速上升，即钢轨先加速后匀速，最后减速；故电机工作时间等于除去减速外钢轨的运动时间．
【解析】
（1）分析可知，欲使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，则钢轨先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动．钢轨开始受到的滑动摩擦力为：
f1=μmg=3×103 N
根据牛顿第二定律  f1-mg sinα=ma1
解得：a1=2 m/s2
钢轨开始做匀加速运动的时间为  t1==2 s
位移为  s1=a1t12=4 m
钢轨做匀速直线运动的位移为 s2=L-l-s1=8 m
做匀速直线运动的时间为 t2==2 s
所需的最短时间为 t=t1+t2=4 s
（2）欲使电动机工作的时间最短，钢轨的最后一段运动要关闭电动机，钢轨匀减速上升，b端到达坡顶时速度刚好为零．
根据牛顿第二定律 f1+mg sinα=ma2
匀减速运动的加速度大小为 a2=4 m/s2
历时 t3==1s
位移为s3=vt3-a2t32=2 m
电动机至少要工作的时间为
答：（1）钢轨从坡底从静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间为4s；
（2）钢轨从坡底从静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作3.5s时间？