Question

如图所示，P为位于某一高度处的质量为m的物块，B为位于水平地面上的质量为M的特殊长平板，=，平板与地面间的动摩擦因数为μ=0.1．在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，如图中划虚线的部分，当物块P进入相互作用区时，B便有竖直向上的恒力f作用于P，f=11mg，f对P的作用使P刚好不与B的上表面接触；在水平方向P、B之间没有相互作用力．已知物块P开始自由落下的时刻，板B向右的速度为v=10.0m/s．P从开始下落到刚到达相互作用区所经历的时间为T=1s． 设B板足够长，保证物块P总能落入B板上方的相互作用区，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）相互作用区域的厚度．
（2）P第一次回到初始位置经历的时间．
（3）当B开始停止运动那一时刻，P的位置．

Answer

（1）物块P在进入“相互作用区域”之前做自由落体运动，加速度为g，进入“相互作用区域”之后做匀减速直线运动，由自由落体运动的规律求出P刚到达板的上表面时的速度，再由动能定理研究匀减速运动过程，即可求得相互作用区域的厚度．
（2）根据牛顿第二定律求出加速度．根据两个过程速度的关系求解P从进入“相互作用区域”到离木板最近过程所经历的时间，根据对称性求出物块P从开始自由下落到再次回到初始位置所经历的时间．
（3）对于B的运动过程分三段；
①在P从开始下落到进入“相互作用区域”的时间t内，B物体做匀减速直线运动，由速度公式求出末速度．
②在P进入到离开“相互作用区域”的过程，B物体做匀减速直线运动，求出末速度．
③在P从离开“相互作用区域”到回到初位置的t时间内，B做匀减速直线运动，再求出末速度．
根据三个过程的初速度、末速度和时间，由平均速度和时间求出总位移．
【解析】
（1）物块P自由下落时，刚到达板的上表面时的速度v=gT=10m/s．
P进入相互作用区域的过程，根据动能定理得：mgH-fH=0-
代入解得，H=0.5m．
（2））对于P，取向下方向为正方向，对于B取水平向右为正方向．
物块P在进入“相互作用区域”之前，P、B的加速度分别是aP=g=10m/s2，aB=-μg=-1m/s2．
物块P在进入“相互作用区域”之后，P、B的加速度分别是aP′==-100m/s2，aB′=-=-6.5m/s2．
设P从进入“相互作用区域”到离木板最近过程所经历的时间为t，则
  aPT+aP′t=0
解得t=0.1s
根据对称性得到物块P从开始自由下落到再次回到初始位置所经历的时间T=2（t+t）=2.2s
（3）设板速度为零时，P一共回到出发点n次．由以上分析得：
v+2naBT+2naB′t=0
解得，n=3.03次，
三次后，板的速度为v=v+2×3aBT+2×3aB′t=0.1m/s
则此时P又下落的时间为t′==0.1s
h==4.95m
即当B开始停止运动那一时刻，P距地面4.95 m．
答：
（1）相互作用区域的厚度为0.5m
（2）P第一次回到初始位置经历的时间为2.2s．
（3）当B开始停止运动那一时刻，P距地面4.95 m．