Question

如图所示，一轻弹簧竖直放置在地面上，轻弹簧下端与地面固定，上端连接一质量为M的水平钢板，处于静止状态．现有一质量为 m 的小球从距钢板 h=5m的高处自由下落并与钢板发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失．己知 M=3m，不计空气阻力，g=10m/s²．
（ l ）求小球与钢板第一次碰撞后瞬间，小球的速度 v₁和钢板的速度 v₂．
（ 2 ）如果钢板作简谐运动的周期为 2.0s，以小球自由下落的瞬间为计时起点，以向下方向为正方向，在下图中画出小球的速度 v 随时间 t 变化的v-t 图线．要求至少画出小球与钢板发生四次碰撞之前的图线．（不要求写出计算过程，只按画出的图线给分）

Answer

（1）小球与钢板的碰撞时间且无机械能损失，是弹性碰撞，两者的动量和机械能均守恒，根据两大守恒定律列式，可求得第一次碰撞后瞬间小球的速度v1和钢板的速度v2．
（2）根据第一次碰后，根据速度知道小球做竖直上抛运动，求出上抛运动的总时间，分析此时间与简谐运动周期的关系，结合弹性碰撞的规律，分析此后小球的运动情况，作出v-t图象．
【解析】
（1）设小球与钢板第一次碰撞前瞬时的速度大小v，小球与钢板第一次碰撞后，小球与钢板的速度分别为v1和v2．取竖直向下方向为正方向．
由机械能守恒得：mgh=mv，解得，v==10m/s
对于碰撞过程，由动量守恒和机械能守恒得：
   mv=mv1+Mv2 ①
   =+ ②
又M=3m  ③
联立①②③得：v1=-5m/s，v2=5m/s，即小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度v1为 5m/s，方向向上；钢板的速度v2为 5m/s 方向向下．
（ 2 ）由上知，第一碰撞后小球作竖直上抛运动，总时间为t1==1s，而钢板作简谐运动的周期为T=2.0s，所以两者会在第一碰撞位置发生第二碰撞．
设第二次碰撞后，小球与钢板的速度分别为v1′和v2′．
由动量守恒和机械能守恒得：
   mv1-Mv2=mv1′+Mv2 ′
   =+
又M=3m
联立以上三式解得，v1′=-10m/s，v2′=0．
此后小球竖直上抛运动，时间为t2==2s=T，恰好经过2s后发生第三次碰撞，第三次碰撞与第一次碰撞相同．画出小球的v-t图线如下图所示（小球与钢板第二次碰撞后，小球的速度为 10m/s，方向向上；钢板的速度为零）

答：
（1）小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度v1为 5m/s，方向向上；钢板的速度v2为 5m/s 方向向下．
（2）小球的v-t图线如图所示．