Question

如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上，NMAP段光滑，PQ段粗糙．现在有一质量为m、带电荷量为+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的倍．现将小环从M点右侧的D点由静止释放，小环刚好能到达P点．
（1）求DM间距离x；
（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小；
（3）若小环与PQ间动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧4R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer

（1）小环刚好到达P点时速度为零，对D到P为研究过程，运用动能定理求出DM间的距离．
（2）对D到A为研究过程，运用动能定理求出A点的速度，根据牛顿第二定律，沿半径方向上合力提供向心力，求出弯杆对小环作用力的大小．
（3）需讨论摩擦力的大小与电场力的大小关系，若摩擦力大于电场力，则运动到P点右侧停止；若摩擦力小于电场力，则环最终在DP间往复运动．根据动能定理求出摩擦力做的功．
【解析】
（1）小环刚好到达P点时速度vP=0，由动能定理得
   qEx-2mgR=0                                          
而  
所以
（2）设小环在A点时的速度为vA，由动能定理得

因此
设小环在A点时所受半圆环轨道的作用力大小为N，由牛顿第二定律得

解得  
（3）若f=μmg≥qE，即．小环第一次到达P点右侧s1距离处静止，由动能定理得
  qE（4R-s1）-2mgR-fs1=0                                       
而f=μmg，因此得  
设克服摩擦力所做的功为W，则  
若f=μmg≤qE，即．环经过来回往复运动，最后只能在PD之间往复运动，设克服摩擦力所做的功为W，则
qE（4R）-mg（2R）-W=0                                    
解得W=mgR
答：（1）DM间距离x是．
（2）上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小是+；
（3）小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为或mgR．