Question

如图，在倾角θ=30°、足够长的斜面上分别固定着两个相距L=0.2m的物体A、B，它们的质量m_A=m_B=1kg，A、B与斜面间的动摩擦因数分别为和．在t=0时刻同时撤去固定两物体的外力后，A物体将沿斜面向下运动，并与B物体发生多次碰撞（碰撞时间极短），每次碰撞后两物体交换速度（g取10m/s²）．求：
（1）A与B第一次碰撞后B的速率．
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历多长时间？
（3）从A开始运动直到第n次碰撞时B物体通过的路程是多少？

Answer

（1）先根据牛顿第二定律求出AB的加速度，根据运动学基本公式求出碰撞前A的速度，进而求出碰撞后B的速度；
（2）先根据运动学基本公式求出从AB开始运动到第一次碰撞的时间，两物体相碰后，A物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而B物体做匀速运动，根据位移关系求出再经过多长时间第二次相碰，求出总时间；
（3）碰后A、B交换速度，碰后B的速度均要比A的速度大1m/s．求出从第2次碰撞开始，每次A物体运动到与B物体碰撞时，速度增加量，列出通项进行求和即可．
【解析】
（1）A物体沿斜面下滑时：
mAgsinθ-μAgcosθ=mAaA                               
解得：

同理B物体沿斜面下滑时有：         
由上面可知，撤去固定A、B的外力后，物体B恰好静止于斜面上，物体A将沿斜面向下做匀加速直线运动．                                                     
A与B第一次碰撞前的速度
解得：vA=1m/s                                     
故A、B第一次碰后瞬时，B的速率vB1=vA=1m/s                          
（2）从AB开始运动到第一次碰撞用时：L=                
解得：t1=0.4s           
两物体相碰后，A物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而B物体将以vB2=vB1=1m/s的速度沿斜面向下做匀速直线运动．                                       
设再经t2时间相碰，则有                                    
解之可得t2=0.8s                                               
故从A开始运动到两物体第二次相碰，共经历时间t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s        
（3）碰后A、B交换速度，碰后B的速度均要比A的速度大1m/s．
从第2次碰撞开始，每次A物体运动到与B物体碰撞时，速度增加量均为△v=at2=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交换，因而碰后B物体的速度为：
第一次碰后：vB1=1m/s
第二次碰后：vB2=2m/s
第三次碰后：vB3=3m/s
…
第n次碰后：vBn=n m/s
每段时间内，B物体都做匀速直线运动，则第n次碰前所运动的距离为
sB=[1+2+3+…+（n-1）]×t2=m   （n=1，2，3，…，n-1）
答：（1）A与B第一次碰撞后B的速率为1m/s．
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历的时间为1.2s；
（3）从A开始运动直到第n次碰撞时B物体通过的路程是m   （n=1，2，3，…，n-1）