Question

如图所示，光滑足够长导轨倾斜放置，导轨间距为L=1m，导轨平面与水平面夹角为θ=30°，其下端连接一个灯泡，灯泡电阻为R=3Ω，导体棒ab垂直于导轨放置，除灯泡外其它电阻不计．两导轨间的匀强磁场的磁感应强度为B=T，方向垂直于导轨所在平面向上．将导体棒从静止释放，当导体棒的速度v=2.4m/s时通过灯泡电量q=0.9C．随着导体棒的下滑，其位移x随时间t的变化关系趋近于x=3t-1.6．g=10m/s²．求：
（1）导体棒的质量m；
（2）当导体棒速度为v=2.4m/s时，灯泡产生的热量Q；
（3）为了提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡的功率，试通过计算提出两条可行的措施．

Answer

（1）根据导体棒下滑的位移x随时间t的变化关系x=3t-1.6，由数学知识可求出导体棒运动的最大速度，最大速度时，导体棒做匀速直线运动，重力沿斜面向下的分力与安培力平衡，由平衡条件可求出导体棒的质量．
（2）根据感应电量的公式q==，可求出导体棒速度为v=2.4m/s时下滑的位移x，在这个过程中，导体棒的重力势能减小，转化为灯泡的内能和导体棒的动能，由能量守恒定律可求出灯泡产生的热量Q；
（3）根据功能关系得到灯泡功率的表达式，再从理论上分析提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡的功率的方法．
【解析】
（1）由题，导体棒的位移随时间变化关系趋近于x=3t-1.6，由数学知识得知，这是直线方程，其斜率大小等于速度，则得导体棒运动最大速度vm=3m/s．
此时导体棒做匀速直线运动，则有：
代入数据化简得：m=1kg 
（2）设导体棒下滑距离为x时速度为v=2.4m/s，在此过程中通过灯泡的电量：q=，
根据能量守恒定律得：

代入数据化简得：Q=10.62J    
（3）小灯泡的最大功率为：此时又有：
化简得：
因此，提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡的功率的措施有：增大导体棒的质量、增加导轨平面的倾角、换电阻较大的灯泡、减小磁场、减小导轨间距离．
答：（1）导体棒的质量m为1kg；
（2）当导体棒速度为v=2.4m/s时，灯泡产生的热量Q是10.62J；
（3）提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡的功率的措施有：增大导体棒的质量、增加导轨平面的倾角、换电阻较大的灯泡、减小磁场、减小导轨间距离．