Question

一传送带装置示意图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切．现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h．稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L．每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段的微小滑动）．已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目N个．这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．求电动机的平均功率．

Answer

要求电动机的平均功率，需要知道在T时间内运送小货箱电动机所做的功，而电动机所做的功一是转化为小货箱的动能，二是转化为小货箱的重力势能，三是由于小货箱和传送带发生相对运动而产生的内能；由于每个小货箱都是从静止开始运动并且最后和传送带的速度相同，故每个小货箱获得的动能相同．又由于每个小货箱都是从底部运送到顶部，故每个小货箱增加的重力势能相同，同样产生的热量相同，故需要求出每个小货箱在加速的过程中产生的热量．而热量等于摩擦力与相对位移的乘积，故需要求解相对位移．
【解析】
以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动，其末速度等于传送带的速度，设这段时间内小货箱通过的位移为s，所用的时间为t，加速度为a，则对小货箱有
s=at2                                                        ①
v=at                                                          ②
在这段时间内，传送带运动的路程为
s=vt                                                          ③
由以上各式得
s=2s                                                           ④
用f表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小货箱做功为
W1=fs=m                                                     ⑤
传送带克服小箱对它的摩擦力做功
W=fs=2×m                                                 ⑥
两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量
Q=m                                                         ⑦
可见，在小货箱加速运动过程中，小货箱获得的动能与系统因相对运动产生的热量相等．
T时间内，电动机输出的功为
W=T                                                            ⑧
此功用于增加小货箱的动能、重力势能以及克服摩擦力产生热量，即
W=Nm+Nmgh+NQ                                               ⑨
已知相邻两小箱的距离为L，所以在T时间内运送的小货箱的个数N，
则VT=NL                                                      ⑩
联立⑦⑧⑨⑩式，得
=[+gh]．