Question

足够长的光滑水平导轨PC、QD与粗糙竖直导轨MC'、ND'之间用光滑的圆弧导轨PM和QN连接，O为圆弧轨道的圆心，如图甲所示．已知导轨间距均为L=0.2m，圆弧导轨的半径为R=0.25m．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t的变化图象如图乙所示．水平导轨上的金属杆A₁在外力作用下，从较远处以恒定速度v=1m/s水平向右运动，金属杆A₂从距圆弧顶端MN高H=0.4m处由静止释放．当t=0.4s时，撤去施于杆A₁上的外力；随后的运动中杆A₁始终在水平导轨上，且与A₂未发生碰撞．已知金属杆A₁、A₂质量均为m=4.0×10^-4kg，A₂与竖直导轨间的动摩擦因数为μ=0.5．金属杆A₁、A₂的电阻均为r=5Ω，其余电阻忽略不计，重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）金属杆A₂沿竖直导轨下滑过程中的加速度；
（2）金属杆A₂滑至圆弧底端PQ的速度；
（3）整个过程中回路产生的焦耳热Q．

Answer

（1）题中只有A1做切割磁感线运动，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出回路中的感应电流I大小，即可求得A2杆所受的安培力，再根据牛顿第二定律求出A2杆下滑过程中的加速度．
（2）金属杆A2滑至MN前做匀加速运动，由运动学公式求出A2杆恰好滑至MN处时的速度．从MN到PQ过程，金属A2机械能守恒，即可列式求得滑至圆弧底端PQ的速度．
（3）A1、A2始终未发生碰撞，在随后的过程中，两者系统动量守恒，由动量守恒定律列式可求出两棒最终达到的共同速度，再由能量守恒求解焦耳热Q．
【解析】
（1）A1运动产生的感应电动势E=BLv=1×0.2×1V=0.2V
回路中的感应电流
A2杆所受的安培力：F=BIL=1×2×10-2×0.2=4×10-3N
A2杆的滑动摩擦力：f=μF=0.5×4×10-3N=2×10-3N
所以，A2杆下滑过程中的加速度：
（2）A2杆在t=0.4s内下滑的距离为：
恰好滑至MN处，此时的速度为：v1=at=5×0.4m/s=2m/s
若A2以v1做匀速圆周运动至底端PQ所用时间为：
说明A2下滑过程中无磁场，只有重力做功．由机械能守恒，有：
解得金属A2滑至圆弧底端PQ的速度为：v2=3m/s
（3）A1、A2始终未发生碰撞，所以在随后的过程中，两者系统动量守恒，最终达到共同速度vt．以v1的方向为正方向，有mv2-mv=2mvt
解得：vt=1m/s
A1、A2在水平导轨运动中产生的焦耳热为Q1，由能量守恒有：
在t=0.4s内，回路中产生的焦耳热为Q2，由功能关系有：
（或：）
所以，在整个过程中回路产生的焦耳热为：．
答：
（1）金属杆A2沿竖直导轨下滑过程中的加速度是5m/s2；
（2）金属杆A2滑至圆弧底端PQ的速度是3m/s；
（3）整个过程中回路产生的焦耳热Q是3.2×10-3J．