Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×10⁵ m/s，运行周期T=4.7π×10⁴s，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

Answer

（1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞．
【解析】
（1）设A、B圆轨道的半径分别为r1、r2，由题意知，A、B的角速度相等，为ω，
有：，，又FA=FB．
设A、B之间的距离为r，又r=r1+r2．
由以上各式得，   ①
由万有引力定律得，．
将①代入得，
令，比较可得．②
（2）由牛顿第二定律有：，③
又可见星的轨道半径④
由②③④得，．
（3）将m1=6ms代入得，  ⑤
代入数据得，．⑥
设m2=nms，（n＞0）将其代入⑥式得，
．⑦
可见，的值随n的增大而增大，令n=2时，得
⑧
要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2m1，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）．
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为．
（3）暗星B有可能是黑洞．