Question

质量为m=1kg的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑的圆孤轨道下滑．B、C为圆弧的两端点，其连线水平．已知圆弧半径R=1.0m圆弧对应圆心角θ=106°，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.8m，小物块离开C点后恰能无碰撞的沿固定斜面向上运动，0.8s后经过D点，物块与斜面间的动摩擦因数为μ₁=（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）试求：
（1）小物块离开A点时的水平初速度v₁．
（2）小物块经过O点时对轨道的压力．
（3）假设小物块与传送带间的动摩擦因数为μ₂=0.3，传送带的速度为5m/s，则PA间的距离是多少？
（4）斜面上CD间的距离．

Answer

（1）利用平抛运动规律，在B点对速度进行正交分解，得到水平速度和竖直方向速度的关系，
而竖直方向速度Vy=显然易求，则水平速度V可解．
（2）首先利用动能定理解决物块在最低点的速度问题，然后利用牛顿第二定律在最低点表示出向心力，则滑块受到的弹力可解．根据牛顿第三定律可求对轨道的压力．
（3）根据牛顿第二定律和运动学公式求解．
（4）物块在轨道上上滑属于刹车问题，要求出上滑的加速度、所需的时间；再求出下滑加速度、距离，利用匀变速直线运动规律公式求出位移差．
【解析】
（1）对小物块，由A到B有vy2=2gh
在B点tan=
所以v=3m/s．
（2）对小物块，由B到O由动能定理可得：
mgR（1-sin37°）=m-
其中vB=5m/s
在O点N-mg=m
所以N=43N
由牛顿第三定律知对轨道的压力为N′=43N
（3）传送带的速度为5m/s，所以小物块在传送带上一直加速，
μ2mg=ma3
PA间的距离是SPA==1.5m
（4）物块沿斜面上滑：mgsin53°+μmgcos53°=ma1
所以a1=10m/s2
物块沿斜面下滑：mgsin53°-μmgcos53°=ma2 a2=6m/s2
由机械能守恒知vc=vB=5m/s
小物块由C上升到最高点历时t1==0.5s
小物块由最高点回到D点历时t2=0.8s-0.5s=0.3s
故SCD=t1-a2
即SCD=0.98m．
答：（1）小物块离开A点的水平初速度为3m/s．
 （2）小物块经过O点时对轨道的压力为43N
 （3）则PA间的距离是1.5m
 （4）斜面上CD间的距离为0.98m