Question

如图所示，一个圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，小球从释放到进入光滑细圆管的时间和从C点射出打到垫子的M端所经历的时间之比是多少？
（3）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？

Answer

（1）离开C点小球做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得C点速度的大小．根据牛顿第二定律求得弹力；
（2）小球从最高点到C点的过程中机械能守恒，根据机械能使守恒定律求解高度H，再根据自由落体运动求解时间，从而求出时间比；
（3）小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为4R，打到N点根据平抛运动求得速度．根据机械能守恒定律求解．
【解析】
（1）小球离开C点做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：
R=
运动时间t=
从C点射出的速度为
v1==
设小球以v1经过C点受到管子对它的作用力为N，由向心力公式可得
mg-N=m
N=mg-m=
由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为，方向竖直向下． 
（2）小球从最高点到C点的过程中机械能守恒，则
mg（H-R）=
解得：H=
小球从H高处自由下落，则H=
解得：t′=
则
（3）小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．
设能够落到N点的水平速度为v2，根据平抛运动求得：

设小球下降的最大高度为H，根据机械能守恒定律可知，
mg（H-R）=
解得：H=
答：（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小为，方向竖直向下；
（2）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，小球从释放到进入光滑细圆管的时间和从C点射出打到垫子的M端所经历的时间之比是；
（3）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是5R