Question

当物体从高空下落时，空气阻力（不计空气的浮力）会随物体的速度增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的终极速度仅与球的半径和质量有关（g取10m/s²）下表是某次研究的实验数据：

小球编号	A	B	C	D
小球的半径（×10^-2m）	0.5	0.5	1.0	1.5
小球的质量（×10^-3kg）	2	5	5	45
小球的终极速度（m/s）	16	40	10	40

（1）根据表中的数据，求出C球与D球在达到终极速度时所受的空气阻力之比f_C：f_D
（2）根据表中的数据，归纳出球形物体所受空气阻力f与球的终极速度v及球的半径r的关系，写出表达式并求出比例系数．

Answer

（1）匀速时重力和阻力平衡，求解重力之比即可；
（2）用控制变量法研究，即先控制半径一定，看速度与质量关系；再控制速度一定，研究质量与半径关系．
【解析】
（1）球在达到终极速度时为平衡状态．
空气阻力f=mg   
空气阻力之比fC：fD=mC：mD=1：9  
（2）对于每个球，在达到终极速度时，阻力与质量成正比．
对于A、B球，半径相同，由A、B球数据可知，质量与终极速度成正比，从而可得，阻力与终极速度成正比．
同理由B、D两球数据分析可知阻力与半径的平方成正比；
可得   f=Kvr2 
对A、B、C、D四球都可得：k==50 NS/m3 
答：（1）C球与D球在达到终极速度时所受的空气阻力之比为1：9；
（2）球形物体所受空气阻力f与球的终极速度v及球的半径r的关系为f=Kvr2，比例系数为50 NS/m3．