Question

一棱镜的截面为直角三角形ABC，∠A=30°，斜边AB=a，棱镜材料的折射率为n=．在此截面所在的平面内，一条光线以45°的入射角从AC边的中点M射入棱镜，求其射出的点的位置（不考虑光线沿原来路线返回的情况）．

Answer

光线以45°的入射角时，要分入射光线在法线的右侧和左侧两种情况进行讨论研究．根据折射定律求出光线在AC面的折射角．根据几何知识确定光线在AB或BC面上入射角．求出临界角，判断在这两个面上能否发生全反射，画出光路图，求出光线从棱镜射出的点的位置离A或B点的距离．
【解析】
设入射角为i，折射角为r，由折射定律得：  ①
由已知条件i=45°，n=解得 r=30°②
（1）如果入射光线在法线的右侧，根据几何知识得知，光线与AB垂直，光路图如图所示．设出射点F，由几何关系可得
 AF=③
即出射点在AB边上离A点a的位置．
（2）如果入射光线在法线的左侧，光路图如图所示．设折射光线与AB的交点为D．
由几何关系可知，在D点的入射角
θ=60°④
设全反射的临界角为C，则
sinC=⑤
由⑤和已知条件得
C=45°⑥
因此，光在D点全反射．
设此光线的出射点为E，由几何关系得∠DEB=90°
BD=a-2AF⑦
BE=DBsin30°⑧
联立③⑦⑧式得
BE=
即出射点在BC边上离B点的位置．
答：如果入射光线在法线的右侧，出射点在AB边上离A点的位置．如果入射光线在法线的左侧，出射点在BC边上离B点的位置．光路图如图所示．