Question

如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L=0.5m，上方连接一个阻值R=1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在垂直纸面向里的磁感应强度B=2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r=0.5Ω．将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h=0.8m处由静止释放，进入磁场后恰作匀速运动．（g取10m/s²）求：（1）金属杆的质量m；
（2）若金属杆2从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，进入磁场下落一段距离后做匀速运动．在金属杆2加速的过程中整个回路产生了1.4J的电热．求此过程中流过电阻R的电荷量q；
（3）若金属杆2仍然从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，在金属杆2进入磁场的同时释放金属杆1，试求两根金属杆各自的最大速度．

Answer

（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，由运动学公式求出进入磁场时的速度v，进入磁场后做匀速运动，重力与安培力平衡，E=BLv，I=、F=BIL，及平衡条件可求得m．
（2）金属杆2进入磁场经过一段时间后开始匀速运动，速度大小仍等于v．根据能量守恒求出h2，由==，=，q=求出电量q．
（3）释放金属杆1后，两杆受力情况相同，且都向下加速运动，合力等于零时速度最大．根据平衡条件得到两杆速度之和．由于两个金属杆任何时刻受力情况相同，任何时刻两者量也相的加速度也都相同，在相同时间内速度的增同，根据速度增量相同，得到速度的关系，联立求解两杆的最大速度．
【解析】
（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，进入磁场的速度
vm=
金属杆2进入磁场后切割磁感线，回路中产生感应电流，有
感应电动势E=BLvm，感应电流 
金属杆恰做匀速运动，受安培力和重力平衡：mg=BIL
解出m===0.2kg                    
（2）金属杆2自由下落h1，进入磁场，做加速运动，设金属杆2在磁场内下降h2后达到匀速运动，在加速的过程中，部分机械能转化为电能产生电热，有
mg（h1+h2）=+Q
可得         h2=1=1.3m
金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中，
解出流过电阻的电量 q==C=0.65C        
（3）金属杆2刚进入磁场时的速度v==m/s=2m/s
金属杆2进入磁场同时释放金属杆1后，回路中有感应电流，两杆都受安培力和重力，且受力情况相同，都向下做加速运动，随速度增大，感应电流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等时，速度达到最大．
金属杆1和2产生的感应电动势为E1=BLv1，E2=BLv2
感应电流为
达到最大速度时杆的重力等于安培力
mg=BIL
整理得到：v1+v2=
代入数据得v1+v2=4 m/s…①
因为两个金属杆任何时刻受力情况相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即：v1-0=v2-v
代入数据得v2=v1+2…②
①②两式联立求出：v1=1m/s，v2=3m/s            
答：（1）金属杆2的质量m为0.2kg．
（2）流过电阻R的电量q为0.65C．
（3）两根金属杆各自的最大速度分别是1m/s和3m/s．