Question

如图，木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距x．与滑块B（可视为质点）相连的细线一端固定在O点．水平拉直细线并给B一个竖直向下的初速度，当B到达最低点时，细线恰好被拉断，B从A右端的上表面水平滑入．A与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力．
已知A的质量为2m，B的质量为m，A、B之间动摩擦因数为μ；细线长为L、能承受的最大拉力为B重力的5倍；A足够长，B不会从A表面滑出；重力加速度为g．
（1）求B的初速度大小v和细线被拉断瞬间B的速度大小v₁
（2）A与台阶只发生一次碰撞，求x满足的条件
（3）x在满足（2）条件下，讨论A与台阶碰撞前瞬间的速度．

Answer

（1）根据机械能守恒定律、结合牛顿第二定律，通过绳子的最大拉力求出B的初速度大小v和细线被拉断瞬间B的速度大小v1．
（2）若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足A的动量大小大于B的动量，结合动能定理求出A与台阶只能碰撞一次的条件．
（3）根据动量守恒定律求出A左端到台阶板前瞬间，A、B恰好达到共同速度木板A移动的位移x，然后分情况讨论，当x≥x物块与木板共速后与台阶碰撞，当x＞x物块与木板共速前与台阶碰撞，根据动量守恒定律结合动能定理求出A与台阶碰撞前瞬间的速度．
【解析】
（1）滑块B从释放到最低点，机械能守恒，有：
…①
在最低点，由牛顿运动定律：
…②
又：T=5mg…③
联立①②③得：，  
（2）设A与台阶碰撞前瞬间，A、B的速度分别为vA和vB，由动量守恒
mv1=mvB+2mvA…④
若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足：…⑤
对A应用动能定理：…⑥
联立④⑤⑥解得：，…⑦
即A与台阶只能碰撞一次的条件是：．
（3）设x=x时，A左端到台阶板前瞬间，A、B恰好达到共同速度vAB，
由动量守恒  mv1=（m+2m）vAB…⑧
对A应用动能定理：…⑨
联立⑧⑨得：…⑩
（i）当x≥x即时，AB共速后A与挡板碰撞．
由⑧可得A与台阶碰撞前瞬间的速度：…⑩
（ii）当即时，AB共速前A就与台阶碰撞，
对A应用动能定理：
A与台阶碰撞前瞬间的速度：
答：（1）B的初速度大小，细线被拉断瞬间B的速度大小．
（2）A与台阶只发生一次碰撞，求x满足的条件．
（3）时，A与台阶碰撞前瞬间的速度，时，A与台阶碰撞前瞬间的速度．