Question

如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度恒为B不变；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B_t的大小随时间t变化的规律如图（b）所示．t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上也由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．
已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为l，在t=t_x时刻（t_x未知）ab棒恰好进入区域Ⅱ，重力加速度为g．求：
（1）区域I内磁场的方向；
（2）通过cd棒中的电流大小和方向；
（3）ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离；
（4）ab棒开始下滑至EF的过程中，回路中产生总的热量．（结果用B、l、θ、m、R、g表示）

Answer

（1）II内磁场均匀变化因此在回路中形成感应电流，根据楞次定律判断出流过cd的电流方向，然后根据平衡求出cd棒所受安培力方向，进一步根据左手定则判断磁场方向．
（2）根据导体棒处于平衡状态可知，安培力等于重力沿导轨向下分力，由此可求出通过cd棒中的电流大小和方向．
（3）棒ab进入II区域前后回路中的电动势不变，即磁场变化产生电动势与导体切割磁感线产生电动势相等，据此求出导体棒进入II时速度大小，然后根据导体棒匀加速下滑的特点即可求出结果．
（4）回路中电流恒定，根据Q=EIt可求出结果．
【解析】
（1）由楞次定律可知，流过cd的电流方向为从d到c，cd所受安培力沿导轨向上，故由左手定则可知，I内磁场垂直于斜面向上．
故区域I内磁场的方向垂直于斜面向上．
（2）cd棒平衡，所以有：BIl=mgsinθ
故解得：I=，电流方向d→c．
故通过cd棒中的电流大小I=，电流方向d→c．
（3）前、后回路感应电动势不变，=Blvx，即有：=Blvx，
解得：l=vxtx                                                        
ab棒进入区域Ⅱ之前不受磁场力的作用，做匀加速直线运动，
S1=（0+v）tx=0.5l          
故ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离为0.5l．                                   
（4）ab棒进入区域Ⅱ后作匀速直线运动，t2=tx，总时间：
t总=tx+t2=2tx
电动势：E=Blvx不变
总热量：Q=EIt总=2mgvxtxsinθ=2mglsinθ
故回路中产生总的热量为：Q=2mglsinθ．