Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=，设小球经过轨道连接处均无能量损失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少多大？
（2）若以题（1）中求得的最小初动能E_K0从B点向上运动，求小球第二次到达D点时的动能；
（3）若以题（1）中求得的最小初动能E_K0从B点向上运动，求小球在CD段上运动的总路程．

Answer

（1）要使小球能够向上运动并回到B点，有两个临界条件的要求：一是要使小球能够通过圆弧APD的最高点，二是通过了圆弧APD的最高点后还能够再次到达B点．根据能量守恒分别求出小球恰好通过圆弧APD的最高点以及恰好到达B点时的初动能，比较两种情况下的初动能，从而得出初动能EK0的最小值．
（2）根据动能定理求出小球从B点出发又回到B点时的动能，根据动能定理判断其能上升的最大高度，若不能上滑到最高点，由于重力的分力大于滑动摩擦力，小球会下滑，求出小球在AB杆上摩擦产生的热量．根据能量守恒求出第二次经过D点的动能．
（3）通过第二问解答知小球能够第二次到达D点，根据能量守恒定律讨论小球能否第二次通过D点返回后上升到B点，从而确定小球的运动情况，最后根据动能定理求出小球在CD段上运动的总路程．
【解析】
（1）若要使小球能够通过圆弧APD的最高点，因为小球是穿在杆上，所以到达最高点时速度可以为0．
   由能量守恒得：Ek0=mg[Lsinθ+（R-Rcosθ）]+μmgLcosθ
代入数据解得：Ek0=30J．
 假若仅使小球恰好到达B点，即到达B点时速度恰好为0，则由能量守恒：Ek0=μmgLcosθ+μmgL
代入数据解得：Ek0=18J．
故要使小球能再次回到B点，至少需要30J的初动能．
（2）当小球在B点以Ek0=30J向上运动，再次回到B点时，小球的动能Ek1，由动能定理：Ek1-Ek0=-μmgLcosθ-μmgL，所以：Ek1=Ek0-μmgLcosθ-μmgL=30-18=12J
假设小球经过B点后，还能沿AB上升x，由动能定理：0-Ek1=-mgxsinθ+（-μmgcosθx）
解得：
在AB杆上，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以小球将再次下滑，在AB杆上因摩擦而发的热：
当小球第二次回到D点时，由能量守恒得：mg（r+rcosθ）+Ek1=Q1+μmgL+EkD
所以：
故小球第二次到达D点时的动能为12.6J．
（3）小球到达D点后，将沿光滑的圆弧面APB上升，但到不了最高点，将再次滑回D点，且．
假若要使小球还能够返回B点，则要求在D点时具有的动能为：μmgL+mg（r+rcosθ）=28J＞EkD；    
所以小球将无法再次回B点，而只能在光滑圆弧APD和BQC及DC间作来回往复的运动，最终小球将停在DC上，此时小滑在DC上滑过的总路程为S'，
由EkD=μmgS'得：
所以
故小球在CD段上运动的总路程为9.78m．