Question

不可伸长的绝缘轻绳长为R，一端系于O点，另一端系一质量为m、电量为+q 的点电荷，点电荷可在xoy平面内绕O点做半径为R的圆周运动，如图甲所示，本题计算中忽略点电荷的重力．
（1）当点电荷以速率v沿+y方向通过A（R，0）点的瞬间，在空间中加沿x轴正方向的匀强电场E，如图乙所示，要使点电荷能做完整的圆周运动，电场强度E需满足何条件？
（2）在（1）问中，其他条件不变，将空间中的电场用垂直xoy平面向里的匀强磁场B代替，如图所示，要使点电荷仍能做半径为R的圆周运动，磁感应强度B需满足何条件？
（3）变化的磁场周围可以激发感生电场，若上述磁场随时间均匀变化，会在点电荷运动的圆形轨道上产生一个环形电场，其电场线是闭合的，各点场强大小相等．现在空间加一垂直xoy平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B变化情况如图丁所示，t=0时刻点电荷的速率为v，轻绳一直处于伸直状态．试求0～T时间内，轨道中形成的感生电场E_感的大小，并在图戊中作出点电荷在0～5T时间内v～t图象，要求写出主要的分析过程．

Answer

（1）要使点电荷能做完整的圆周运动，当点电荷运动到最左端绳子张力F≥0．先根据动能定理求出此时电荷的速度，由牛顿第二定律和向心力公式结合求E需满足的条件．
（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，由洛伦兹力与绳子拉力的合力提供向心力时，点电荷能做完整的圆周运动，绳子的拉力F′≥0，由牛顿第二定律列式求解．
（3）分四段时间分析，根据法拉第电磁感应定律求感生电动势，当感生电动势一定时，点电荷所受电场力大小一定，在圆形轨道上作匀加速圆周运动，由牛顿第二定律求出速度的表达式；当感生电动势为零时，点电荷不所受电场力，在圆形轨道上作匀速圆周运动．
【解析】
（1）分析可知，点电荷运动到最左端绳子张力最小，设此时速度大小为v
由动能定理-qE-2R=
在最左端时qE+F=m
得F=
当F≥0时，点电荷能做完整圆周运动，解得E≤
（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，
对任一点进行受力分析有qvB+F′=
得F′=-qvoB
当F′≥0时，点电荷能做完整的圆周运动，解得B
（3）0至T时间内磁场均匀变化，激发的感生电动势为E，则
E==S=
感生电场的场强 E感==
①0～T时间内，磁场均匀增加，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀加速圆周运动，加速度大小a==
经时间T后，速度大小v1=v+aT=v+
②T～2T时间内磁场不变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v1不变．
③2T～4T时间内磁场均匀减小，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀
减速圆周运动，加速度大小a′===
经时间2T后，v2=v1-a′（2T）=v+-=v
④4T～5T时间内磁场变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v不变．
根据以上结果，作图如下．
答：
（1）电场强度E需满足E≤．
（2）磁感应强度B需满足得B．
（3）0～T时间内，轨道中形成的感生电场E感的大小为．点电荷在0～5T时间内v～t图象如图所示．