Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上，以初动能E_k0从B点开始沿BA向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=，设小球经过轨道连接处均无能量损失．求：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小球完成一周运动回到B点，求初动能E_K0至少多大；
（2）若小球以第一问E_k0数值从B出发，求小球第二次到达D点时的动能及小球在CD段上运动的总路程．

Answer

（1）根据能量守恒定律，求出小球上升到最高点所需的能量，再求出小球返回B点时所剩的动能，从而判断出小球只要能上升到最高点，即可回到B点，从而确定小球完成一周运动回到B点的最小初动能．
（2）根据动能定理或能量守恒确定小球停止所在的位置，从而根据动能定理求出小球在CD上运动的路程．
【解析】
（1）从B点开始到轨道最高点需要能量：
Ek0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ
代入解得：Ek0=30J
从最高点向左返回B点设剩余动能EkB
EkB=mg2R-mgr（1+cosθ）-μmgL=12J
说明只要小球能从点上升到最高点以后就可以回到B点，要使小球完成一周运动回到B点，初动能EK0至少30J
（2）小球第一次回到B点时的动能为12J，小球沿BA向上运动到最高点，距离B点为X，则有：
EkB=μmgXcosθ+mgXsinθ
X=m＜3m
小球掉头向下运动，当小球第二次到达D点时动能为：
EKD=mgr（1+cosθ）+mgXsinθ-μmgXcosθ-μmgL=12.6J
小球第二次到D点后还剩12.6J的能量，沿DP弧上升一段后再返回DC段，到C点只剩下2.6J的能量．
因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点．  
由动能定理：EKD=μ mg x
可得小球在CD上所通过的路程为：x=3.78m
小球通过CD段的总路程为：X总=2L+x=9.78m
答：（1）要使小球完成一周运动回到B点，求初动能EK0至少30J．
（2）小球第二次到达D点时的动能为12.6J，小球在CD段上运动的总路程为9.78m．