Question

如图（甲）所示，两个水平和倾斜光滑直导轨都通过光滑圆弧对接而成，相互平行放置，两导轨相距L=lm，倾斜导轨与水平面成θ=30角，倾斜导轨的下面部分处在一垂直斜面的匀强磁场区I中，I区中磁场的磁感应强度B₁随时间变化的规律如图（乙）所示垂直斜面向上为正值，图中t₁、t₂未知．水平导轨足够长，其左端接有理想灵敏电流计G（内阻不计）和定值电阻R=3Ω，水平导轨处在一竖直向上的匀强磁场区Ⅱ中，Ⅱ区中的磁场恒定不变，磁感应强度大小为B₂=1T，在t=0时刻，从斜轨上磁场I区外某处垂直于导轨水平静止释放一金属棒ab，棒的质量m=0．l kg，棒的电阻r=2Ω，棒下滑时与导轨保持良好接触，设棒通过光滑圆弧前后速度大小不变，导轨的电阻不计．若棒在斜面上向下滑动的整个过程中，灵敏电流计指针稳定时显示的电流大小相等，t₂时刻进入水平轨道，立刻对棒施一平行于框架平面沿水平且与杆垂直的外力．（g取10m/s²）求：
（1）ab棒进入磁场区I时速度V的大小；（2）磁场区I在沿斜轨方向上的宽度d；
（3）棒从开始运动到刚好进入水平轨道这段时间内ab棒上产生的热量Q；
（4）若棒在t₂时刻进入水平导轨后，电流计G的电流I随时间t变化的关系如图（丙）所示（而未知），已知t₂到t₃的时间为0.5s，t₃到t₄的时间为1s，请在图（丁）中作出t₂到t₄时间内外力大小F随时间t变化的函数图象．（从上向下看逆时针方向为电流正方向）

Answer

（1）由题意，电流表的示数保持不变，整个下滑过程中回路中产生的感应电动势不变，可判断出在t1时刻棒刚好进入磁场Ⅰ区域且做匀速直线运动，由平衡条件和安培力、欧姆定律、法拉第定律结合求解V；
（2）棒没进入磁场以前做匀加速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式求出下滑的距离，由于棒进入磁场后产生的感应电动势不变，由法拉第电磁感应定律求出磁场区I在沿斜轨方向上的宽度d；
（3）ab棒进入磁场以前，由焦耳定律求出ab棒产生的焦耳热．进入磁场Ⅰ的过程中，棒的重力势能减小转化为内能，由能量守恒求出ab棒产生的焦耳热；
（4）根据图线写出I-t′方程式，由欧姆定律I==，得到速度与时间的表达式，即可求出加速度，由牛顿第二定律得到外力F与时间的关系式，作出图象．
【解析】
（1）电流表的示数不变，说明在整个下滑过程中回路的电动势是不变的，说明在B变化时和不变时感应电动势大小一样，所以可以判断在t1时刻棒刚好进入磁场Ⅰ区域且做匀速直线运动．mgsinθ-BIL=0．I=，E1=BLV，代入数据得V=2.5m/s
（2）没进入磁场以前做匀加速直线运动，加速度是 a=gsin30°=5m/s2，v=at，t1=0.5s
下滑的距离是S1=at2=0.625m，在没进入磁场以前，由于B均匀变化，所以E2=•Ld
又E1=BLV，E1=E2
解得d=0.625m
（3）ab棒进入磁场以前，棒上产生的热量为Q1=I2Rt1=0.25J
取ab棒在斜轨磁场中运动为研究过程mgsinθ-Q2=0
解得，Q2=0.3125J   此时，棒上产生的总热量Q2r==0.125J 
则棒上产生的总热量是Qr=Q1+Q2r=0.375J
（4）因为E=BLV，所以刚进水平轨道时的电动势是E=2.5V，I==0.5A
取t2时刻为零时刻，则根据图线可以写出I-t′方程式 I=0.5-t′，
又I=
V=2.5-5 t′．所以a1=5m/s2．
由牛顿第二定律得 F+BIL=ma1．F+I=1，F=t′，画出坐标系．
t3到t4的时间为1s，取t3时刻为零时刻，可写出t3时刻后的I与时间的关系式，I″=0.5 t''，速度的表达式V″=2.5t″
则得棒运动的加速度大小a2=2.5m/s2
依牛顿第二定律有
  F-BIL=ma2
代入上面的式子得F=0.25+0.5 t''画在坐标系里．

答：（1）ab棒进入磁场区I时速度V的大小是2.5m/s；
（2）磁场区I在沿斜轨方向上的宽度d是0.625m；
（3）棒从开始运动到刚好进入水平轨道这段时间内ab棒上产生的热量Q是0.375J；
（4）作出t2到t4时间内外力大小F随时间t变化的函数图象如图所示．