Question

设地球是一个密度均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，如果沿地球的直径挖一条隧道，将物体从此隧道一端由静止释放刚好运动到另一端（如图所示），不考虑阻力，在此过程中关于物体的运动速度v随时间t变化的关系图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，深度为d位置的加速度相当于半径为R-d的球体在其产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系分析加速度的变化求解即可．
【解析】
如果物体在距地心为r处（r≤R），那么这个物体只会受到以地心为球心、以r为半径的那部分球体的万有引力，
而距地心为r到R之间的物质对物体作用力的合力为零．物体掉入隧道之后，不是做自由落体运动．
设物体的质量为m，地球密度为ρ，以半径为r的那部分球体的质量为M，距地心r处的重力加速度为g，
则M=πr3ρ，
=mg，得
g==πρGr． ①
由于物体掉入隧道之后，r在变化，由①式可知g也在变化，且离地心越近g越小，在地心处g=0．所以物体不是做自由落体运动．
考虑到方向，有g=-πρGr，即物体的加速度g与位移r大小成正比、方向相反，所以物体在隧道中的运动是简谐运动．
故选C．