Question

小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（ ）

A．4.7π
B．3.6π
C．1.7π
D．1.4π

Answer

对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律列出等式，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，根据周期关系列出等式求解．
【解析】
设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，
因其绕月球作圆周运动，
所以应用牛顿第二定律有
=m  r=3R
T=2π=6π，
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，
GM=gR2
所以T=6π，①
设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大圆轨道运行的周期是T2．
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有==②
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足
t=nT2-T1   ③（其中，n=1、2、3、…）…
联立①②③得 t=6πn-4π（其中，n=1、2、3、…）
当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t=4.7π
故选A．