Question

如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面向上，两根长为乙的完全相同的金属棒ab、cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨电接触良好，每根棒的质量为m、电阻为R．现对ab施加平行导轨向上的恒力F，当ab沿导轨向上做匀速直线运动时，cd保持静止状态．
（1）求力F的大小及ab运动的速度大小；
（2）若施加在ab上力的大小变为2mg，方向不变，经过一段时间后ab、cd以相同加速度沿导轨向上加速运动，求此时ab棒与cd棒的速度差（△v=v_ab-v_cd）．

Answer

（1）由题，ab沿导轨向上做匀速直线运动时，cd保持静止状态，两棒都处于平衡状态，合力都为零，分析两棒的受力情况，根据平衡条件，分别对两棒列式，即可求解F的大小．由法拉第定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，由平衡条件可求出ab运动的速度．
（2）当两以相同的加速度沿导轨向上加速运动时，回路中感应电动势E=BL（vab-vcd）=BL△v．先根据牛顿第二定律分别对整体和cd棒列式，求出感应电流I，再根据欧姆定律E=I•2R，结合法拉第定律可求出速度差．
【解析】
（1）由题知，两棒都处于平衡状态，两棒所受的合外力均为零，则根据平衡条件得：
 对ab棒：F-Fab-mgsinα=0
 对cd棒：Fcd-mgsinα=0
ab、cd两棒所受的安培力大小为：Fab=Fcd=BIL=BL=
由以上三式得：F=2mgsinα，vab==
（2）当ab、cd以相同的加速度a运动时，根据牛顿第二定律得：
  对整体：2mg-2mgsinα=2ma
  对cd棒：BIL-mgsinα=ma
联立以上两式得 I=
由闭合电路欧姆定律得：感应电动势为 E=I•2R=
又根据法拉第电磁感应定律得：感应电动势E=BL（vab-vcd）=BL△v．
解得△v=
答：
（1）力F的大小为2mgsinα，ab运动的速度大小为．
（2）此时ab棒与cd棒的速度差为．