Question

如图所示，半径R=0.8m的1/4光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，过最低点的半径OC处于竖直位置，在其右方有一可绕竖直轴MN（与圆弧轨道共面）转动的，内部空心的圆筒，圆筒半径r=0.1m，筒的顶端与C点等高，在筒的下部有一小孔，距筒顶h=0.8m，开始时小孔在图示位置（与圆弧轨道共面）．现让一质量m=0.1kg的小物块自A点由静止开始下落，打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬间的碰撞过程中小物块沿半径方向的分速度立刻减为零，而沿圆弧切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使圆筒立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A点、B点到圆心O的距离均为R，与水平方向的夹角θ均为30°，不计空气阻力，g取l0m/s²．试问：
（1）小物块到达C点时的速度大小是多少？
（2）圆筒匀速转动时的角速度是多少？
（3）要使小物块进入小孔后能直接打到圆筒的内侧壁，筒身长 L至少为多少？

Answer

（1）根据自由落体运动求出小球运动到B点的速度，将B点的速度沿径向和切向分解，得出切向方向的速度，再根据机械能守恒定律求出小物块在C点的速度大小．
（2）小物块离开C点后做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，抓圆筒在该段时间内转动的角度为2nπ（n=1，2，3，…），求出圆筒转动的角速度．
（3）根据圆筒的直径求出物块在圆筒中运行的时间，从而得出平抛运动的总时间，根据平抛运动竖直方向上的运动规律求出物体下降的高度，即筒身的至少长度．
【解析】
（1）根据得，
．
．
根据机械能守恒定律得：

代入数据解得．
（2）由h=得，
则ω=   （n=1，2，3，…）                  
（3）
L==1.25m．
答：（1）小物块到达C点时的速度大小是．
（2）圆筒匀速转动时的角速度是5nπ（n=1，2，3，…）                  
（3）要使小物块进入小孔后能直接打到圆筒的内侧壁，筒身长 L至少为1.25m．