Question

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的1/4圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量为m=1kg的质点从斜面最高点A沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点．已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=，g=10m/s²，假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率不变．求：
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力
（2）质点从A到D的过程中重力势能的变化量
（3）质点从开始到第8次经过B点的过程中在斜面上通过的路程．

Answer

（1）质点从C到B过程只有重力做功，根据动能定理列式可以求解B点速度；在B点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式可以求解支持力；最后根据牛顿第三定律得到压力．
（2）对A到B过程和B到D过程分别运用动能定理列式，求出第一次返回的位移，最后得到重力势能的改变情况．
（3）先根据动能定理列式得到滑块在斜面上第一、二次返回位移与下降位移的关系，找出规律，最后得到从开始到第8次经过B点的过程中在斜面上通过的路程．
【解析】
（1）设圆弧的半径为R，则质点从C到B过程，根据动能定理，有：
mgR=
在B点，根据牛顿第二定律，有：
N-mg=m
联立解得：N=3mg=3×1×10N=30N
根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N．
（2）设质点第一次由B点沿斜面上滑的速度为v1，B点到D点的距离为L1
A到B过程：mgLsin30°-μmgcos30°L=
B到D过程：-mgL1sin30°-μmgcos30°L1=0-
代入数据解得：L1=L=0.9m
则质点从A点到D点重力势能的变化为
△Ep=mg（L1-L）sin30°=-9J
（3）设质点第2次由B点沿斜面上滑的速度为v2，沿斜面上滑的距离为L2．
第二次下滑过程：mgL1sin30°-μmgcos30°L1=
第二次上滑过程：-mgL2sin30°-μmgcos30°L2=0-
解得：
同理可推得：质点第n次由B点沿斜面上滑的距离Ln为：

所以质点从开始到第8次经过B点的过程中，在斜面上通过的路程为：
S=L+2（L1+L2+L3）=5.3m
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力为30N；
（2）质点从A到D的过程中重力势能的变化量为-9J；
（3）质点从开始到第8次经过B点的过程中在斜面上通过的路程为5.3m．