Question

如图所示，一内壁光滑的圆环形窄槽固定在水平桌面上，槽内彼此间距相等的 A、B、C三位置处，分别有静止的大小相同的弹性小球m₁、m₂、m₃，小球与槽壁刚好接触．现让m₁以初速度v沿槽顺时针运动．已知三球的质量分别为m₁=m、m₂=m₃=2m，小球球心到圆环中心的距离为R．设各球之间的碰撞时间极短，碰撞中没有能量损失．求：
（1）m₁和m₂相碰后各自的速度大小；
（2）m_3和m₁第一次碰撞的位置；
（3）m₁和m₂第一次相碰后；再经过多长时间，m₁和 m₂第二次相碰？

Answer

（1）A和B相碰时没有机械能损失，遵守动量守恒和机械能两大守恒，分别列出两大守恒定律的方程，求出A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）因为m2=m3=2m，与第（1）问同理可得，m2运动到C处与m3碰后，两者交换速度，再根据位移关系求解相碰的位置；
（3）m3与m1碰撞过程满足动量守恒和机械能两大守恒，分别列出两大守恒定律的方程，求出m3与m1相碰后各自的速度大小，再根据时间等于弧长除以速度求解．
【解析】
（1）由题知碰撞过程动量守恒，动能守恒m1与m2碰撞过程满足
mv=mv1+2mv2
mv2=mv12+2mv22
得v1=-（负号表示逆时针返回），v2=
（2）因为m2=m3=2m，与第（1）问同理可得，m2运动到C处与m3碰后，两者交换速度，
即v2′=0，v3==v2
所以m3以的速度顺时针由C向A运动，与m1逆时针返回．
因为v2=v3=2v1，lBC+lCA=2lAB
所以m3和m1同时到达A点并进行碰撞．
（3）m3与m1碰撞过程满足
2m-m=mv1′+2mv3′
2m（）2+m（）2=mv1′2+2mv3′，
解之得v1′=v
v3′=0
（另一组解v1′=-v，v3′=，这表示互相穿过去，不可能，所以舍去）即碰后m3停止，m1以v再次顺时针运动．
m1和m2第一次相碰后，返回A点的时间

m1与m3在A处碰后，m1以v返回到C的时间t2=2×
从m1和m2第一次相碰，到m1和m2第二次相碰经历的总时间t=t1+t2=
答：（1）碰后m1的速度为反向的v，m2的速度为v；
（2）m1和m3第一次相碰点在A点；
（3）m1和m2第一次相碰后再经过时间，m1和 m2第二次相碰．