Question

过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁=2.0m、R₂=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁=6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字．试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离．

Answer

对小球的运动过程进行分析．
运用动能定理求出小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度，再对小球在第一个圆轨道的最高点进行受力分析，并利用牛顿第二定律求出轨道对小球作用力．
知道小球恰能通过圆形轨道的含义，并能找出在第二圆形轨道的最高点速度．运用动能定理研究某一运动过程求出B、C间距L．
知道要使小球不能脱离轨道的含义：1、小球恰能通过第三个圆轨道，2、轨道半径较大时，小球不能通过第三个圆轨道，但是还要不能脱离轨道，那么小球上升的高度就不能超过R3
应用动能定理研究整个过程求出两种情况下的问题．
【解析】
（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理得：
-μmgL1-2mgR1=mv12-mv2 ①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律有：
             F+mg=m        ②
由 ①、②得               F=10.0 N  ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由小球恰能通过第二圆形轨道有：
                 mg=m     ④
-μmg（L1+L）-2mgR2=mv22-mv2  ⑤
由④、⑤得             L=12.5m    ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
 I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
               mg=m  ⑦
-μmg（L1+2L）-2mgR3=mv32-mv2 ⑧
由 ⑥、⑦、⑧得            R3=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
-μmg（L1+2L）-2mgR3=0-mv2             
解得                   R3=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
                （R2+R3）2=L2+（R3-R2）2
解得               R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
  0＜R3≤0.4m或  1.0m≤R3≤27.9m
当0＜R3≤0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-mv2     
             L′=36.0m
当1.0m≤R3≤27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则
                 L″=L′-2（L′-L1-2L）=26.0m
答：（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小为10.0N；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是12.5m；
（3）第三个圆轨道的半径须满足下面的条件  0＜R3≤0.4m或  1.0m≤R3≤27.9m
当0＜R3≤0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为36.0m
当1.0m≤R3≤27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为26.0m．