Question

如图所示是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，光滑斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，圆形轨道半径为R．一个质量为m的小车（可视为质点）在A点由静止释放沿斜面滑下，当它第一次经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力为其重力的7倍，小车恰能完成圆周运动并第二次经过最低点沿水平轨道向右运动．已知重力加速度为g．
（1）求A点距水平面的高度h；
（2）假设小车在竖直圆轨道左、右半圆轨道部分克服摩擦阻力做的功相等，求小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小．

Answer

（1）设第一次小车运动到B点的速度大小为vB，根据牛顿第二定律及牛顿第三定律求出B点速度，小车从A点运动到B点的过程机械能守恒，以B点位置为重力势能零点，求出高度；
（2）设小车在圆轨道最高点的速度为vC，重力提供向心力，此时根据向心力公式求出C点速度，设小车在右半圆轨道上克服阻力做功Wf，对小车从B点运动到C的点过程，根据动能定理求出Wf，对小车从B点运动到C点再回到B点的过程，根据动能定理列式即可求解．
【解析】
（1）设第一次小车运动到B点的速度大小为vB，受到的支持力为N，根据牛顿第二定律：
 N-mg=m
依题意和牛顿第三定律：
 N=7mg 
解得 vB=
小车从A点运动到B点的过程机械能守恒，以B点位置为重力势能零点，则有：
mgh=
解得 h=3R
（2）设小车在圆轨道最高点的速度为vC，重力提供向心力，此时根据向心力公式有：
mg=m
解得：vc=
设小车在右半圆轨道上克服阻力做功Wf，对小车从B点运动到C的点过程，根据动能定理有
-mg2R-Wf=-
解得 Wf=mgR
设小车第二次经过B点时的速度为v′，对小车从B点运动到C点再回到B点的过程，根据动能定理有：
-2Wf=-
解得v′=2
答：（1）A点距水平面的高度h为3R；
（2）小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小为2．