Question

一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管中有两个直径略小于细管内径的小球（可视为质点）A、B，A球质量为m₁，B球质量为m₂，它们沿圆管顺时针运动，经过圆管最低点时速度都是v，若某时刻A球在圆管最低点时，B球恰好在圆管最高点，两球作用于圆管的合力为零，求m₁、m₂、R与v应满足的关系式．

Answer

根据题意，分析物理情景．A球对圆管的压力向下．为使两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的作用力只能向上，所以轨道对B球的作用力方向向下．对A、B两球用牛顿第二定律分别列出方程，根据管对两球的作用力N2与N1等值反向，得到速度的关系式．再结合机械能守恒定律，就能得到m1、m2、R与v应满足的关系式．
【解析】
如图所示，A球运动到最低点时速度为V，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N1的作用，其合力提供向心力．根据牛顿第二定律，得N1-m1g=m1 ①
   这时B球位于最高点，设速度为V1，B球受向下重力m2g和细管弹力N2作用．球作用于细管的力是N1、N2的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N2与N1等值反向，N1=N2 ②，且N2方向一定向下，
   对B球：N2+m2g=m2③B球由最高点运动到最低点时速度为V，此过程中机械能守恒定律，得：
即 m2V12+m2g•2R=m2V2 ④
由①②③④式消去N1、N2和V1后得到m1、m2、R与V满足的关系式是：
（m1-m2）+（m1+5m2）g=0 ⑤
答：m1、m2、R与v应满足的关系式为 （m1-m2）+（m1+5m2）g=0