Question

如图所示，斜面倾角为θ，一块质量为m、长为l的匀质板放在很长的斜面上，板的左端有一质量为M的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于斜面顶端的光滑定滑轮并与斜面平行，开始时板的右端距离斜面顶端足够远．试求：
（1）若板与斜面间光滑，某人以恒力F竖直向下拉绳，使物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，求物块与板间动摩擦因数μ；
（2）在（1）情形下，求物块在板上滑行所经历的时间t；
（3）若板与物块和斜面间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度，竖直向下拉绳，物块最终不滑离板的右端．试求板与物块间动摩擦因数μ₁和板与斜面间动摩擦因数μ₂必须满足的关系．

Answer

（1）物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，可知板受力平衡，由受力平衡合外力为零可求得摩擦力，进一步可求得μ．
（2）物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，物块上滑，其受力都为恒力，可知其做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可求出加速度a，再由：可求出需要的时间．
（3）物块最终不滑离板的右端．说明物块和木板最终要达到相同的速度v，表示出物块的加速度，求出其速度达到v用的时间t1；临界条件是到达木板上端时恰好达到v，求出此时所需时间t2，只需要让 t1≤t2即可．
【解析】
（1）分别对物块和木板受力分析并建立如图所示的直角坐标系，
对木块M：G1=Mg，则：F1=Mgcosθ，
又：M在Y轴方向受力平衡，
所以F3=F1=Mgcosθ．
又：f=μF1=μMgcosθ
对板m：因为静止，所以X、Y方向分别受力平衡：
X轴方向：F5=G2sinθ=mgsinθ；f=μMgcosθ；
所以：mgsinθ=μMgcosθ；
得：
（2）设物块M的加速度为a，物块Y方向合力为零，所以合力即为X轴上的合力：
X轴方向：F2=G1sinθ=Mgsinθ；f=μMgcosθ；
所以：F合=F-Mgsinθ-μMgcosθ
由牛顿第二定律：F=ma得：
F-Mgsinθ-μMgcosθ=Ma
即：a=
又：带入数据得：
联立解得：
（3）设物块在板上滑行的时间为t1，板的加速度为a，
对板有：Y方向合力为零，所以合力即为X方向的合力：
X轴方向：f=μ1Mgcosθ；f1=μ2（M+m）gcosθ；F5=G2sinθ=mgsinθ
所以：F合=μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2（M+m）gcosθ
由牛顿第二定律：F=ma得：
μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2（M+m）gcosθ=ma①
且物块最终不滑离板的右端．说明物块和木板最终要达到相同的速度v：所以有：v=at1②
①②联立解得 
又设物块从板的左端运动到右端的时间为t2，
则：

为使物块最终不滑离板的右端，必须满足 t1≤t2
即
代入解得：μ1-2μ2≥2tanθ
所以要使物块最终不滑离板的右端，μ1与μ2必须满足μ1-2μ2≥2tanθ
答：
（1）物块与板间动摩擦因数．
（2）在（1）情形下，求物块在板上滑行所经历的时间
（3）若板与物块和斜面间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度，竖直向下拉绳，物块最终不滑离板的右端．试求板与物块间动摩擦因数μ1和板与斜面间动摩擦因数μ2必须满足的关系为：μ1-2μ2≥2tanθ