Question

为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l=2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除 AB 段以外都是光滑的．其AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v=4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿 AB 方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数 μ=0.50．（g=10m/s²、sin37°=0.60、cos37°=0.80）
（1）求小物块到达A点时速度．
（2）要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

Answer

（1）由题意可知物体平抛运动过程的末速度方向，则由运动的合成与分解可求得合速度；
（2）物体能通过最高点，则应保证重力充当向心力，由临界条件可求得最高点的速度，则由动能定理可求得圆弧半径的条件；
（3）要使物体能回到AB段中，小球应无法通过最高点，则由动能定理可求得临界半径，则可求得竖直圆轨道的半径条件．
【解析】
（1）小物块做平抛运动，
经时间 t 到达A处时，
令下落的高度为h，
水平分速度v，
竖直速度为vy，
小物块恰好沿斜面AB方向滑下，
则tan37°=
得vy=3 m/s，
所以小物块到A点的速度为5m/s．
（2）物体落在斜面上后，
受到斜面的摩擦力
F f=μFN=μmgcos37°
设物块进入圆轨道到达最高点时有最小速度v1，
此时物块受到的重力恰好提供向心力，
令此时的半径为 R，
则mg=
物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，
根据动能定理有：
mg（h+lsin37°-2R）-μmgcos37°•l=mv12-mv2．
联立上式，
解得R=0.66m，
若物块从水平轨道DE滑出，
圆弧轨道的半径满足 
R1≤0.66m．
（3）为了让小物块不离开轨道，
并且能够滑回倾斜轨道 AB，
则物块上升的高度须小于或等于某个值R，
则 mg（h+lsin37°）-μmgcos37°•l-mgR=0-mv2
解得R=1.65m
物块能够滑回倾斜轨道 AB，
则 R2≥1.65m．