Question

如图所示，一质量不计的轻质弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子A放在倾角为θ=30°的光滑固定斜面上，下端固定在斜面上．盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方形边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧劲度系数为k=100N/m，盒子A和金属圆球B质量均为1kg．，将A沿斜面向上提起，使弹簧从自然长度伸长10cm，从静止释放盒子A，A和B一起在斜面上做简谐振动，g取10m/s²，求：
（1）盒子A的振幅．
（2）盒子运动最低点时，盒子A对金属圆球B的作用力大小
（3）金属圆球B的最大速度．

Answer

（1）振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离．当盒子A和金属圆球B所受合力为零时，盒子经过平衡位置，由平衡条件和胡克定律求出此时弹簧压缩的长度．
（2）由牛顿第二定律求出盒子A和金属圆球B在最高点的加速度大小，根据简谐运动的对称性可知，盒子运动最低点时的加速度大小等于盒子A和金属圆球B在最高点的加速度大小，再对B球研究，运用牛顿定律求出盒子A对金属圆球B的作用力大小．
（3）当盒子运动到平衡位置时，球B的速度最大，根据机械能守恒定律求解金属圆球B的最大速度．
【解析】

（1）当盒子A和金属圆球B所受合力为零时，盒子经过平衡位置，此时，弹簧压缩的长度为x1=
代入解得 x1=10cm．由题可知，盒子在最高点时，弹簧伸长为x2=10cm，所以盒子A的振幅A=x1+x2=20cm．
（2）根据牛顿第二定律得到，盒子A和金属圆球B在最高点的加速度大小为
     a=
代入解得  a=10m/s2．
根据简谐运动的对称性可知，盒子运动最低点时的加速度大小等于盒子A和金属圆球B在最高点的加速度大小．再以B球为研究对象得，
     F-mgsin30°=ma
代入解得  F=15N
（3）当盒子运动到平衡位置时，球B的速度最大，设最大速度为vm．盒子从最高点到平衡位置的过程中，弹簧的弹性势能不变，根据机械能守恒定律得
    2mgsin30°•A=
代入解得 

答：
（1）盒子A的振幅为20cm．
（2）盒子运动最低点时，盒子A对金属圆球B的作用力大小为15N；
（3）金属圆球B的最大速度．