Question

一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，AB间的细绳呈伸直状态，与水平线成30夹角．已知B球的质量为m，求：
（1）细绳对B球的拉力和A球的质量；
（2）若剪断细绳瞬间A球的加速度；
（3）剪断细绳后，B球第一次过圆环最低点时对圆环的作用力．

Answer

（1）对球受力分析，根据小球受力平衡可以求得绳的拉力的大小和A球的质量；
（2）剪断细绳瞬间分析A的受力，由牛顿第二定律可以求得加速度的大小；
（3）B球做的事圆周运动，由机械能守恒可以求得球的速度的大小，由向心力的公式可以求得作用力的大小．
【解析】
（1）对B球，受力分析如图所示

Tsin30°=mg     
解得 T=2mg ①
对A球，受力分析如图所示．在水平方向
Tcos30°=NAsin30° ②
在竖直方向：NAcos30°=mAg+Tsin30°  ③
由以上方程解得：mA=2m     ④
所以细绳对B球的拉力为2mg，A球的质量为2m．
（2）剪断细绳瞬间，A球受力发生变化，
对A球，重力沿圆弧方向的分量作为合力：F合=mAgsin30°=mAa
所以a=g    ⑤
所以剪断细绳瞬间A球的加速度为g；
（3）设B球第一次过圆环最低点时的速度为v，压力为N，圆环半径为r．
则：mgr=mv2        ⑥
N-mg=m     ⑦
⑥⑦联解得：N=3mg
由牛顿第三定律得B球对圆环的压力 N′=N=3mg 方向竖直向下．