Question

如图甲所示，两平行金属板A、B的板长L=0.2m，板间距d=0.2m，两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应．在金属板右侧有一方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左右宽度D=0.4m，上下范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直，匀强磁场的磁感应强度B=1×10^-2 T．现从t=0开始，从两极板左侧的中点O处以每秒钟1000个的数量均匀连续地释放出某种正电荷粒子，这些粒子均以v=2×10⁵ m/s的速度沿两板间的中线OO′连续进入电场，已知带电粒子的比荷=1×10⁸C/kg，粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计，在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变．求：
（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）在0～1s内有多少个带电粒子能进入磁场；
（3）何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长？

Answer

（1）t=0时刻，电压为0，故粒子在电场中不会发生偏转，由洛仑兹力充当向心力公式可得出粒子的偏转半径；由几何关系可得出入射点与出射点间的距离；
（2）随着电压的增大，粒子的偏转位移也增大；则能穿出电场的临界条件是粒子恰好打在板的最右端；由类平抛运动的规律可求得临界电压；由图可求得能进入磁场的粒子个数；
（3）要使粒子运动时间最长，则粒子在磁场中转过的圆心角应最大；由几何关系可知，当粒子的轨迹与PQ相切时，其运动时间最长．
【解析】
（1）t=0时刻，电压为0，粒子匀速通过两板进入磁场，
qvB=m                     
r==0.2m                  
r＜D，则粒子在MN边界射出磁场．
入射点和出射点的距离为s=2r=0.4m      
（2）粒子在两板间做类平抛运动，刚好打到板最右端时，
L=vt1    
=at12 
 =ma                      
U=400V                                      
则0～1s内能够进入磁场的粒子个数为n=×1000=800
（3）假设两板加电压为U时，粒子向下偏转并进入磁场，刚好与磁场PQ边界相切，
在磁场中，qvB=m
由几何关系得，R+Rsinθ=D                             
在电场中，v=
联立解得：θ=37
vy=t1=vtanθ
U=300V                                              
U＜U=400V，则当两板电压U=300V，且粒子向下偏转时，粒子在磁场中运动的时间最长，对应入射的时刻为
t=4n+0.6（s）或t=4n+1.4（s）  （n=0，1，2…）  
答：（1）入射点和出射点的距离为0.4m；
（2）0～1s内能够进入磁场的粒子个数为800个；
（3）粒子在磁场中运动的时间最长，对应入射的时刻为t=4n+0.6（s）或t=4n+1.4（s） （n=0，1，2…）