Question

扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆．其简化模型如图Ⅰ、Ⅱ两处的条形均强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面．一质量为m、电量为-q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角θ=30°．
（1）当Ⅰ区宽度L₁=L、磁感应强度大小B₁=B时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求B及粒子在Ⅰ区运动的时间t；
（2）若Ⅱ区宽度L₂=L₁=L磁感应强度大小B₂=B₁=B，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h；
（3）若L₂=L₁=L、B₁=B，为使粒子能返回Ⅰ区，求B₂应满足的条件；
（4）若B₁≠B₂、L₁≠L₂，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出．为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B₁、B₂、L₁、L₂、之间应满足的关系式．

Answer

（1）加速电场中，由动能定理求出粒子获得的速度．画出轨迹，由几何知识求出半径，根据牛顿定律求出B．找出轨迹的圆心角，求出时间．
（2）由几何知识求出高度差．
（3）当粒子在区域Ⅱ中轨迹恰好与右侧边界相切时，粒子恰能返回Ⅰ区．由几何知识求出半径，由牛顿定律求出B2满足的条件．
（4）由几何知识分析L1、L2与半径的关系，再牛顿定律研究关系式．
【解析】
（1）如图所示，设粒子射入磁场区域Ⅰ时的速度为v，匀速圆周运动的半径为R1．
         根据动能定理，得   qU=mv2          ①
        由牛顿定律，得qvB=m              ②
    由几何知识，得L=2R1sinθ=R1               ③
  联立代入数据解得B=                ④
  粒子在磁场Ⅰ区域中运动的时间为t=     ⑤
  联立上述①②③④⑤解得  t=
（2）设粒子在磁场Ⅱ区中做匀速圆周运动的半径为R2，由牛顿第二定律得qvB2=m
    由于B2=B1，得到R2=R1=L
  由几何知识可得  h=（R1+R2）（1-cosθ）+Ltanθ  
     联立，代入数据解得h=（2-）L  
（3）如图2所示，为使粒子能再次回到I区，应满足
     R2（1+sinθ）＜L
 代入数据解得
      B2＞h
（4）如图3所示，设粒子射出磁场I区时速度与水平方向的夹角为α，
    由几何知识可得L1=R1 （sinθ+sinα）
                  L2=R2 （sinθ+sinα  联立解得B1R1=B2R2
   又R1=   R2=     解得B1L1=B2L2
答：（1）B=，t=．
    （2）粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h=（2-）L．
    （3）为使粒子能返回Ⅰ区，B2应满足的条件是B2＞．
    （4）为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，B1、B2、L1、L2、之间应满足的关系式是B1L1=B2L2．