Question

如图所示，两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球a和b的质量分别为m、m．细杆长度是球面半径的倍．两球处于平衡状态时，有关下列说法正确的是（ ）

A．细杆与水平面的夹角θ=15°
B．杆对a、b球作用力的方向不一定沿杆
C．杆对a、b球的作用力的大小为mg
D．半球面对a、b球的弹力之比为

Answer

分别对两球及整体受力分析，由几何关系可得出两球受力的大小关系，及平衡时杆与水平方向的夹角；注意本题要用到相似三角形及正弦定理．
【解析】
因杆可以绕任一点转动，故若杆对a、b的作用力不沿杆，则杆不可能处于平衡状态； 故杆对ab球的弹力一定沿杆，且对两球的作用力大小一定相等；故B错误；
设细杆对两球的弹力大小为T，小球a、b的受力情况如图所示其中球面对两球的弹力方向指向圆心，即有：cos α==
解得：α=45°
故FNa的方向为向上偏右，即β1=90°-45°-θ=45°-θ
FNb的方向为向上偏左，即β2=90°-（45°-θ）=45°+θ
两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，设球面的半径为R，则oac与左侧力三角形相似；oac与右侧力三角相似；则由几何关系可得：
==
==
解得：FNa=FNb；
半球面对两球的弹力之比为，故D错误；
取a、b及细杆组成的整体为研究对象，由平衡条件得：
FNa•sin β1=FNb•sin β2
即 FNb•sin（45°-θ）=FNb•sin（45°+θ）
解得：θ=15°．故A正确；
由几何关系可知，∠ocb=75°，则∠cob=60°
则有正弦定理可得：
=
解得：
T=mg；故C正确；
故选AC．