Question

小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水，
平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．求：
（1）绳断时球的速度大小v₁；
（2）绳能承受的最大拉力；
（3）改变绳长（绳承受的最大拉力不变），保持手的位置不动，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

Answer

（1）绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动的高度求出时间，根据水平位移和时间求出绳断时球的速度大小．
（2）根据在最低点，合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出最大拉力．
（3）根据最大拉力，通过牛顿第二定律求出绳断后的速度与绳长的关系，根据平抛运动求出平抛运动水平位移的表达式，通过数学方法二次函数求极值，求出l为多少时，x最大．
【解析】
（1）设绳断后球做平抛运动的时间为t1，
竖直方向上：，水平方向上：d=v1t1
解得．
（2）设绳能承受的最大拉力为Fm．
球做圆周运动的半径为R=

解得．
（3）设绳长为l，绳断时球的速度为v2．
有：，解得．
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t2．
有：，x=v2t2．
得
当l=时，x有极大值．
答：（1）绳断时球的速度大小．
（2）绳能承受的最大拉力为．
（3）要使球抛出的水平距离最大，绳长应为，最大水平距离为．