Question

如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F（未知）将质量为m的物块（可视为质点），从静止开始推到B处，且物块到B处时立即撤去恒力F，物块沿半圆轨道运动到轨道最高点C处后，又正好落回A点．已知重力加速度为g．求：
（1）水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系；
（2）x取何值时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为多少；
（3）x取何值时，完成上述运动水平恒力F最小，最小的力为多大．

Answer

（1）物块从半圆弧轨道的最高点C点做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，得出物块经过C点的速度与x的关系．对于物块从A到C的运动过程，根据动能定理得出恒力F对物块所做的功C点的速度的关系，综合得到F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系．
（2）当物块恰好通过最高点C时，经过C点时速度最小，F做功最小，根据牛顿第二定律求出物块通过C点的速度及对应的x值，代入（1）问结果得出最小功．
（3）将功W=Fx与（1）问中功的表达式联立，得到F与x的关系式，根据数学知识求解x为何值时，F最小．
【解析】
（1）设物块在C点的速度为vc，物块从C点运动到A点所用时间为t，物块从半圆弧轨道的最高点C点做平抛运动落到A点．根据平抛运动规律有：
   x=vct，2R=               
解得：vc=
设物块从A到B的运动过程中，水平但力F对物块所做的功为W，对于物块从A到C的运动过程，根据动能定理有：
W-mg•2R= 解得：W=2mgR+
（2）物块恰好通过最高点C时，在C点有最小速度vmin，根据牛顿第二定律有：
    mg=m             解得：vmin=        
此时所对应的水平恒力对物体所做的功最少，且有vc==
解得：x=2R    
所以，当x=2R时恒力F所做的功最少．          
将x=2R 代入第（1）问的结果中，解得最小功W=
（3）W=Fx，第（1）问讨论可知：Fx=2mgR+
    解得：F=+
因等式右端两项之积为恒量，所以当两项相等时其和有极小值．
由==，得x=4R 时水平恒力F最小．                  
解得最小力Fmin=mg  
答：（1）水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系为W=2mgR+；
    （2）当x=2R时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为；
    （3）当x=4R时，完成上述运动水平恒力F最小，最小的力为mg．