Question

如图所示，水平传送带AB长l=1.3m，距离地面的高度h=0.20m，木块与地面之间的动摩擦因数μ=0.20．质量为M=1.0kg的木块随传送带一起以v=2.0m/s的速度向左匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.50．当木块运动至最左端A点时，此时一颗质量为m=20g的子弹以v=300m/s水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1.0s就有一颗子弹射向木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射入点各不相同，g取10m/s²．求：
（1）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？
（2）从第一颗子弹射中木块后到木块最终离开传送带的过程中，木块和传送带间因摩擦产生的热量是多少？
（3）如果在木块离开传送带时，地面上有另一相同木块立即从C点以v₁=1.0m/s向左运动，为保证两木块相遇，地面木块应在距离B点正下方多远处开始运动？

Answer

子弹击中木块的瞬间动量守恒，用动量守恒动量解出木块向右的初速度，木块在传送带上做匀减速直线运动，由速度时间关系式解出1s后的速度，把其与传送带的速度比较，判断木块是否已经达到匀速，还可以解出此过程中木块向右运动的最大距离；下一个过程再用动量守恒定律与第一过程比较．木块和传送带间因摩擦产生的热量等于滑动摩擦力乘以木块与传送带之间的相对位移；最后一问是平抛运动与匀减速直线运动相结合，分别应用平抛运动与匀变速直线运动的规律．
【解析】
（1）由于子弹射中木块的瞬间动量守恒，选向右为正方向，
由动量守恒得：mv-Mv=mu+Mv1，
整理得：
解得：v1=3m/s
由于木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.50，所以物体在传送带上的加速度a=5m/s2，方向向左．
木块经过t1=0.6s时速度减为零，此时木块向右的最大位移：x1=t1=0.9m
每隔t=1.0s就有一颗子弹射向木块，在子弹射出之前的1s内，木块做匀减速直线运动，
由速度时间关系式：v2=v1-at=-2m/s，说明木块此时刚好与传送带达到相同的速度，
此过程中木块的位移：x2=v1t-at2=0.5m
当下一颗子弹击中木块时，过程与第一颗子弹射入过程相同，木块会在x2=0.5m的基础上向右运动0.9m，然而传送带一共1.3m，所以此时木块就会落地．
所以木块在传送带上最多能被2颗子弹击中．
（2）从第一颗子弹击中木块到木块再次与传送带达到相同的速度一共用时t=1s，所以此过程传送带向左运动的位移X1=vt=2m，木块向右的位移为0.5m，
所以此过程木块相对于传送带的位移为△x1=2.5m，
第二颗子弹击中木块后，当木块向右运动0.8m时落下传送带，此过程为匀减速运动，
故：0.8m=v1t2-at22
解得：t2=0.4s
此过程中传送带向左位移X2=vt2=0.8m，
木块向右运动的位移0.8m
所以此过程木块相对于传送带的位移为△x2=1.6m，
故全程木块与传送带间的相对滑动距离为：△x=△x1+△x2=4.1m
所以木块和传送带间因摩擦产生的热量：Q=μMg△x=20.5J
（3）木块落下传送带时的速度：v2=v1-at2=1m/s，
做平抛运动，竖直方向：h=gt32
解得：t3=0.2s
水平方向木块运动的位移：X3=0.2m
地面上有另一相同木块立即从C点以v=1.0m/s向左运动，加速度向右a2=2m/s2，
所以t3内的位移：X4=vt3-at32=0.16m
故为保证两木块相遇，地面木块应在距离B点正下方X3+X4=0.36m远处开始运动．
答：（1）木块在传送带上最多能被2颗子弹击中．
（2）木块和传送带间因摩擦产生的热量是20.5J．
（3）地面木块应在距离B点正下方0.36m处开始运动．