Question

小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地．如题图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．
（1）求绳断时球的速度大小 v₁和球落地时的速度大小 v₂．
（2）向绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

Answer

（1）绳断后小球做平抛运动，根据平抛运动的规律即可求解绳断时球的速度大小 v1和球落地时的速度大小 v2．
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．根据向心力公式即可求解；
（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大推力不变，根据圆周运动向心力公式及平抛运动的规律结合数学知识即可解题．
【解析】
（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有
竖直方向，水平方向d=v1t
得
由机械能守恒定律，有
得
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．
球做圆周运动的半径为
由圆周运动向心力公式，有 
得    
（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，
有  得
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1
有x=v3t1
得    
当时，x有极大值，
答：（1）求绳断时球的速度大小 v1为，球落地时的速度大小 v2为；
（2）绳能承受的最大拉力为；
（3）绳长应是，最大水平距离为．