Question

如图（a）所示，平行金属板A和B间的距离为d，左侧有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场中心与两金属板的中心线在一条直线上．在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U，反向值也为U．现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，沿与水平成60°方向正对磁场圆心，以速度v= 射入，带电粒子恰好水平射出磁场区，并进入电场．所有粒子在AB间电场区的飞行时间均为T．（不计重力影响）．求：
（1）磁感应强度．
（2）t=0时刻进入电场的粒子，飞出电场时的速度大小和方向．
（3）粒子飞出电场时的位置离O′点的距离范围．

Answer

（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，根据几何知识求出轨迹的半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度；
（2）t=0时刻进入电场的粒子，在三个时间内都做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，根据对称性可知，在t=时刻粒子的速度与射入电场时相同．根据牛顿第二定律求得粒子的加速度，由速度公式求出粒子沿电场线方向的速度大小，根据速度的合成求得飞出电场时的速度大小和方向．
（3）根据运动的对称性可知，在t=+nT时刻进入电场，向上侧移最大；在t=+nT时刻进入电场，向下侧移最大；根据位移公式求出侧移，即可粒子飞出电场时的位置离O′点的距离范围．
【解析】
（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由题意分析可知粒子速度的偏向角为60°，由几何知识得：半径为r=Rtan60°
根据：qvB=m
得：B=
又：v=，联立解得：B=
（2）粒子在电场中的加速度为：a=
打出电场的粒子都是相同的，在沿电场线方向的速度大小为
   vy=a=
则v==
设速度方向与v的夹角为θ，则tanθ==
∴θ=30°
（3）当粒子在t=+nT时刻进入电场，向上侧移最大，则：
y1==
在t=+nT时刻进入电场，向下侧移最大，则：
y2=+a（）-=
所以粒子飞出电场时的位置离O′点范围为：距离O′上方至距离O′下方之间．
答：
（1）磁感应强度是．
（2）t=0时刻进入电场的粒子，飞出电场时的速度大小是，速度方向与v的夹角为30°．
（3）粒子飞出电场时的位置离O′点的距离范围距离O′上方至距离O′下方之间．