Question

已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．试求：
（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v₁的大小
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，求卫星运行的轨道半径r
（3）由题干所给条件，推导出地球平均密度的ρ表达式．

Answer

研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出线速度、轨道半径．
由于不考虑地球自转的影响，得出地球表面附近万有引力等于重力，可以表示出地球的质量．
运用密度公式求出地球平均密度．
【解析】
（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律，
物体在地球表面附近满足=mg，
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即=m或m=mg，
联立解得：v1=．
（2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得：
=mr，
联立
解得：r=．
（3）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V=πR3 
地球的平均密度ρ=，联立解得：ρ=．

答：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小为；
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，卫星运行的轨道半径r为；
（3）地球平均密度的ρ表达式为．