Question

如图甲所示，水平天花板下悬挂一光滑的轻质的定滑轮，跨过定滑轮的质量不计的绳（绳承受拉力足够大）两端分别连接物块A和B，A的质量为m，B的质量m是可以变化的，当B的质量改变时，可以得到A加速度变化图线如图乙所示，不计空气阻力和所有的摩擦，A加速度向上为正．
（1）求图乙中a₁、a₂和m₁的大小．
（2）若m=0.8kg，m=1.2kg，AB开始都在离水平地面H=0.5m处，由静止释放AB，且B着地后不反弹，求A上升离水平地面的最大高度．（g取10m/s²）
（3）根据牛顿定律和运动学规律，证明在A和B未着地或与滑轮接触时，AB系统机械能守恒．

Answer

（1）对两个物块分别受力分析，运用牛顿第二定律列式求解出加速度与质量m的关系式，再结合图象进行分析判断；
（2）B着地前，AB系统机械能守恒，B着地后，物体A继续上升，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解即可；也可以先根据牛顿第二定律求解出加速度，然后根据运动学公式列式求解；
（3）运用牛顿第二定律求解出加速度，然后根据运动学公式列式求解出速度，就可以证明系统机械能守恒；
【解析】
（1）对B物体受力分析，受重力mg和拉力F，根据牛顿第二定律，有：mg-F=ma
对A物体受力分析，受重力mg和拉力F，根据牛顿第二定律，有：F-mg=ma
解得a=g
当m→∞时a1=g
当m=0时a2=-g
当a=0时m=m1=m
即图乙中a1、a2和m1的大小分别为：g、-g、m．
（2）方法一：用牛二定律和运动学关系【解析】
从H=0.5m高处释放，AB加速度有
a=g=2m/s2
B着地时A速度v== m/s
接着A做竖直上抛，上升h==0.1m
A距离水平面最大高度hm=2H+h=1.1m
方法二：用动能定理【解析】
B刚落地时A、B有大小相等的速度，设为v则有：
（m+m）v2=（m-m）gH
代入数据解得：v= m/s
接着A做竖直上抛，上升h==0.1m
A距离水平面最大高度hm=2H+h=1.1m
（3）设A开始离水平面h1，B开始离水平面h2，由静止释放A上升到高度h1′，B下降到高度h2′，则h1′-h1=h2-h2′=h
代入（1）问中加速度a，AB发生h位移时速度为v
v2=2ah
v2=2gh
（m+m）v2=mg（h2-h2′）-mg（h1′-h1）
得mv2+mgh1′+mv2+mgh2′=mgh1+mgh2
故A、B系统机械能守恒．