Question

探究能力是物理学研究的重要能力之一．物体因绕轴转动而具有的动能叫转动动能，转动动能的大小与物体转动的角速度有关．为了研究某一砂轮的转动动能E_k与角速度ω的关系．某同学采用了下述实验方法进行探索：如图先让砂轮由动力带动匀速旋转测得其角速度ω，然后让砂轮脱离动力，由于克服转轴间摩擦力做功，砂轮最后停下，测出砂轮脱离动力到停止转动的圈数n，通过分析实验数据，得出结论．经实验测得的几组ω和n如下表所示：

ω/rad•s^-1	0.5	1	2	3	4
n	5.0	20	80	180	320
Ek/J

另外已测得砂轮转轴的直径为1cm，转轴间的摩擦力恒定为10/π（N）．
（1）计算出砂轮每次脱离动力的转动动能，并填入上表中．
（2）由上述数据推导出该砂轮的转动动能E_k与角速度ω的关系式为    ．
（3）若测得脱离动力后砂轮的角速度为2.5rad/s，则它转过45圈后的角速度为    rad/s．

Answer

（1）砂轮克服转轴间摩擦力做功公式W=f•n•πD，f是转轴间的摩擦力大小，n是砂轮脱离动力到停止转动的圈数，D是砂轮转轴的直径．根据动能定理得知，砂轮克服转轴间摩擦力做功等于砂轮动能的减小，求解砂轮每次脱离动力的转动动能．
（2）采用数学归纳法研究砂轮的转动动能Ek与角速度ω的关系式：当砂轮的角速度增大为原来2倍时，砂轮的转动动能Ek是原来的4倍；当砂轮的角速度增大为原来4倍时，砂轮的转动动能Ek是原来的16倍，得到Ek与ω2成正比，则有关系式Ek=kω2．将任一组数据代入求出比例系数k，得到砂轮的转动动能Ek与角速度ω的关系式．
（3）根据动能与角速度的关系式，用砂轮的角速度表示动能，根据动能定理求出转过45圈后的角速度．
【解析】

（1）根据动能定理得：Ek=f•n•πD，代入计算得到数据如下表所示．
ω/rad•s-1 0.5 1 2 3 4
n 5.0 20 80 180 320
Ek/J 0.5 2 8 18 32

（2）由表格中数据分析可知，当砂轮的角速度增大为原来2倍时，砂轮的转动动能Ek是原来的4倍，得到关系Ek=kω2．当砂轮的角速度增大为原来4倍时，砂轮的转动动能Ek是原来的16倍，得到Ek与ω2成正比，则有关系式Ek=kω2．k是比例系数．将任一组数据比如：ω=1rad/s，Ek=2J，代入得到k=2J•s/rad，所以砂轮的转动动能Ek与角速度ω的关系式是Ek=2ω2
（3）根据动能定理得
-f•n•πD=2ω22-2ω12
代入解得ω2=2rad/s
故答案为：（1）0.5，2，8，18，32；
          （2）2ω2；
          （3）2rad/s